23、3D形状分析中基于特征的方法：原理与应用

3D形状分析中基于特征的方法：原理与应用

在3D形状分析领域，形状对应和特征提取是重要的研究方向。不变形状对应旨在寻找两个形状之间在多种变换下保持不变的对应关系，这种对应关系在形状合成应用（如变形）中经常遇到。而特征检测和描述则是实现形状对应和分析的关键步骤。

1. 不变形状对应与特征匹配

不变形状对应通常指的是两个形状之间的对应关系在多种变换下保持不变。在形状合成应用中，如变形操作，需要知道第一个形状上的哪些点将变换为第二个形状上的点，这就需要建立形状之间的对应关系。相关的问题还包括配准，即明确寻找将一个形状变换为另一个形状的变形。

基于特征的形状对应方法首先在两个待匹配的形状上检测特征，然后通过比较相应的描述符来进行匹配。这种方法可以表述为寻找一个映射，使相应描述符之间的相似度最大化。然而，这种方法可能会产生不一致的匹配，特别是在具有重复结构或对称性的形状中。例如，由于人体的双侧对称性，人体左右两侧的点可能会被交换。为了解决这个问题，可以添加一些全局结构约束，如成对的测地距离或扩散距离保持约束。这种最小失真对应试图同时匹配局部结构（描述符）和全局结构（度量），可以通过广义多维缩放（GMDS）算法的扩展或图标记来实现。

评估对应查找算法通常模拟一对一的形状匹配场景，其中一个形状经历多次修改和变换，对应关系的质量通过找到的匹配点与已知真实对应点之间在形状上的距离来评估。著名的基准包括SHREC鲁棒对应基准和普林斯顿对应基准。

2. 数学背景

在进行3D形状分析之前，需要了解一些必要的数学背景知识，包括微分几何、曲率、离散微分几何和扩散几何等。

2.1 微分几何

在3D形状分