28、电子电路基础与拓展知识

电子电路基础与拓展知识

1. 基本电路理论

1.1 欧姆定律

欧姆定律指出，电路某一段中的电流 (I) 与电压 (U) 成正比，比例常数为电阻 (R)，即 (U = IR)。这是由于电阻中加速电子的电场力与电子因与构成材料的离子的振动模式（声子）散射而受到的摩擦力达到平衡的结果。拉力与 (U) 成正比，摩擦力与电子的漂移速度 (v) 成正比，即 (-αv)，其中 (α) 是与材料有关的摩擦系数。在稳态条件下，两力平衡，可得 (v = U/α)。而电流 (I) 与漂移速度 (v) 成正比，即 (I ∝ v = U/α)，这就是欧姆定律的本质，且摩擦系数 (α) 与电阻 (R) 成正比。当电压相对于电子的弛豫时间变化较慢时，电流直接跟随施加的电压，电流 (I) 和电压 (U) 同相。

1.2 电容

电容的情况有所不同，因为电容的两个极板在电学上是分离的，在稳态条件下不允许电荷进行恒定传输。不过，它们可以在极板上存储电荷 (Q)，电容 (C) 是 (Q) 与施加电压 (U) 之间的比例常数，即 (Q = CU)。由于电荷 (Q) 会随着电流 (I) 流入极板而变化，所以有 (U = (1/C)\int_{}^{t} Idt’)，对其求导可得 (dU/dt = (1/C)I)。对于频率为 (ω) 的正弦振荡电压 (U ∝ e^{iωt})，电压与电流的关系为 (U = (1/iωC)I)，我们可以将 (Z_C = 1/iωC) 确定为电容的广义电阻，即阻抗。这里 (i) 是虚数单位。

1.3 电感

电感由线圈构成，线圈在其磁场中存储能量。当我们切断电流时，会产生电压。用公式表示为 (U ∝ dI/dt)，比例常数为线圈的电感 (L)。若假设线圈由频率为 (ω) 的正弦电流 (I ∝ e^{iωt}) 激励，则有 (U = (iωL)I)，并可将 (Z_L = iωL) 确定为电感的阻抗。

1.4 基尔霍夫定律

现在我们已经了解了简单电路中常见元件的电阻和阻抗，接下来考虑如何将它们组合成网络，这可以通过基尔霍夫定律来解决：
- 第一定律 ：在稳态条件下，流入网络节点的所有电流之和必须为零。这是关于电荷守恒的表述，流入的电荷必须流出，因为在稳态条件下不允许电荷堆积。
- 第二定律 ：网络中一个回路周围的电压差之和必须为零，这要求网络中每个节点相对于参考节点的电压是唯一的。

1.5 阻抗的串联和并联

• 串联 ：如图所示，两个阻抗 (Z_1) 和 (Z_2) 串联。节点 (B) 处的电流需要平衡，这意味着通过 (Z_1) 的电流 (I_1) 与通过 (Z_2) 的电流 (I_2) 相同，即 (I_2 = I_1)。同时，电池提供的电压 (U) 等于两个阻抗上的电压降之和，即 (U = I_1Z_1 + I_2Z_2 = I_1(Z_1 + Z_2))，所以电路的总阻抗等于串联的阻抗之和。
• 并联 ：对于两个并联的阻抗，通过两个分支的电流之和为 (I_t = U/Z_t = I_1 + I_2 = U/Z_1 + U/Z_2)，化简可得 (1/Z_t = 1/Z_1 + 1/Z_2)，这意味着并联的阻抗的倒数相加。

上述关于串联和并联的讨论不仅适用于普通电阻和恒定（直流）电压、电流，当使用电感和电容的复频相关阻抗时，也适用于交流电压。此外，所有电流和电压之间的关系都是线性的，因此我们可以使用叠加原理，独立分析每个电压或电流源的电路，最后将各部分的贡献相加。

1.6 非线性元件

除了线性电路元件（阻抗）外，还有非线性元件，如二极管和晶体管。
- 二极管 ：其电压 - 电流行为呈指数关系，表达式为 (I ∝ [e^{(eU - E_g)/kT} - 1])，其中 (E_g ≈ 1.2V) 是半导体材料（这里是硅）的带隙能量。对于负电压，电流非常小；而对于正电流，一旦超过带隙电压阈值，电流就会呈指数增长。实际上，二极管只允许电流单向导通，反向则阻止电流通过，这使其非常适合用于电压整流。当二极管正向偏置，即阴极电压比阳极电压更负时，二极管导通。
- 晶体管 ：基于两个反并联的二极管，有两种类型，取决于中间抽头（基极）是阳极还是阴极。向基极注入额外电流可以使更大的电流通过另外两个外部端子（集电极和发射极）。在实际应用中，晶体管可用于开关，在适当的辅助电路下，也可用作放大器。

2. 最小二乘法拟合

2.1 原理

在某些情况下，我们需要用直线 (y = at + b) 拟合 (n) 个等间隔采样的数据点 ((t_i, y_i))。这些参数 (a) 和 (b) 的确定是通过最小化残差平方和 (r_i = y_i - at_i - b) 来实现的。我们可以将问题重写为线性方程的形式：
[
\begin{pmatrix}
… \
y_i \
…
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
… & … \
t_i & 1 \
… & …
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \
b
\end{pmatrix}
]
简记为 (y = Ax)，其中 (A) 是 (n×2) 矩阵，(x = (a, b)^T)。残差平方和记为 (\chi^2 = \sum_{i = 1}^{n} r_i^2 = (y^T - x^T A^T)(y - Ax) = y^T y - x^T A^T y - y^T Ax + x^T A^T Ax)。

为了找到使 (\chi^2) 最小的解向量 (x)，需要满足关于拟合参数 (x^T) 的梯度为零，即 (0 = \frac{\partial \chi^2}{\partial x^T} = -2A^T y + 2A^T Ax)。假设矩阵 (A^T A) 非奇异，左乘其逆矩阵可得到 (x = (A^T A)^{-1} A^T y)。

2.2 等间隔数据处理

如果 (t) 值是等间隔的，我们可以在重新定义 (a) 时吸收步长，此时矩阵 (A) 变为：
[
A =
\begin{pmatrix}
1 & 1 \
2 & 1 \
3 & 1 \
… & …
\end{pmatrix}
]
则 (A^T A) 为：
[
A^T A =
\begin{pmatrix}
\sum_{k = 1}^{n} k^2 & \sum_{k = 1}^{n} k \
\sum_{k = 1}^{n} k & \sum_{k = 1}^{n} 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
n(n + 1)(2n + 1)/6 & n(n + 1)/2 \
n(n + 1)/2 & n
\end{pmatrix}
]
求逆这个 (2×2) 矩阵很简单，计算 (A^T y) 可以在循环中完成。 linfit 函数返回斜率 (a)，在主程序中需要将斜率乘以步长来重新缩放结果。我们可以使用 octave 中的 polyfit() 函数来交叉验证结果。

2.3 高阶多项式拟合

将该方法推广到高阶多项式拟合很简单。我们只需在方程中添加 (t_i^n) 的列，并通过步长的适当幂次对拟合参数 (a)、(b) 等进行重新缩放。对于任意数量的数据点 (n)，矩阵 (A^T A) 总是可以用封闭形式计算，只需要对具有拟合参数数量秩的矩阵进行求逆。由于可以预先计算大部分矩阵，并在主机计算机上对固定的 (n) 进行求逆，这种方法非常适合微控制器。

以下是相关内容的总结表格：
|元件类型|特性|公式|
| ---- | ---- | ---- |
|电阻|电流与电压成正比| (U = IR) |
|电容|存储电荷，电压与电流积分相关| (Q = CU)，(U = (1/C)\int_{}^{t} Idt’)，(Z_C = 1/iωC) |
|电感|磁场存储能量，电压与电流变化率相关| (U ∝ dI/dt)，(Z_L = iωL) |
|二极管|单向导通，电压 - 电流呈指数关系| (I ∝ [e^{(eU - E_g)/kT} - 1]) |
|晶体管|通过基极电流控制集电极 - 发射极电流| - |

下面是最小二乘法拟合的流程 mermaid 图：

graph LR
    A[获取数据点 \((t_i, y_i)\)] --> B[构建矩阵 A 和向量 y]
    B --> C[计算 \(A^T A\) 和 \(A^T y\)]
    C --> D[求 \(A^T A\) 的逆矩阵]
    D --> E[计算拟合参数 \(x = (A^T A)^{-1} A^T y\)]
    E --> F[得到斜率 a 和截距 b]

3. 进一步探索的方向

3.1 传感器资源

想要深入了解市场上的传感器，可以通过电子元件分销商的网站，如 www.digikey.com 、 www.rs-online.com 、 www.distrelec.com 或 www.farnell.com 。在这些网站上搜索“传感器”，通常会出现大量的子类别和更多的单个传感器。每个具体传感器的页面都有详细的规格说明书，可供进一步研究。

3.2 电子学参考书籍

• 《电子学艺术》 ：这是一本经典的电子学参考书籍，对电子学的各个方面都进行了深入讨论，包括那些不太成功的电路案例。建议获取最新版本（撰写时为第三版）。
• 《学习电子学艺术：实践实验室课程》 ：这本书是《电子学艺术》的配套书籍，更适合学生阅读。它详细介绍了各种元件，并通过大量的实例逐步引导学习。
• 《ARRL 无线电通信手册》 ：由美国无线电中继联盟出版，是无线电爱好者的灵感来源，每两年更新一版。

3.3 微控制器探索

3.3.1 Arduino 相关

可以访问 www.arduino.cc 和 store.arduino.cc/collections/boards 来了解 Arduino 系列的微控制器。这些开发板都可以使用 Arduino IDE 进行编程。

3.3.2 其他微控制器

除了 Arduino，还有许多其他微控制器家族，如 Microchip 的 ATtinys 和 PICs、Texas Instruments 的 MSP430s 等。它们通常针对特定用途进行了优化，如低功耗。这些微控制器有多种尺寸和功能，如不同数量的 IO 引脚、DAC 和 ADC 通道、内置运算放大器、板载 WLAN 或蓝牙等。虽然有时需要用汇编语言编程，但现在很多都配备了软件开发工具包（SDK），包含特定于控制器的库，方便编写代码和上传程序。

3.3.3 Raspberry Pi Pico

Raspberry Pi 推出了更小的兄弟产品 Raspberry Pi Picos，有带或不带内置 WiFi 两种版本。它们基于 RP2040 双核微控制器，也被用于一些 Arduino 开发板。Picos 可以使用其原生 SDK 或 MicroPython 进行编程。不过，要掌握其所有功能，需要仔细研究长达数百页的规格说明书。

3.4 计算机替代方案

3.4.1 桌面或笔记本电脑

由于最近 Raspberry Pi 供应短缺，可以将项目迁移到普通的桌面或笔记本电脑上。只要这些电脑安装了 Python3 或 Octave，并且有开源的数据库（如 MariaDB）和 Web 服务器（如 apache2），就可以替代 Raspberry Pi。移植相关软件通常可以直接运行，或者只需进行少量修改。

3.4.2 其他小型开发板

• ODROID - C4 ：具有与 Raspberry Pi 相似的规格。
• Beagleboard ：更侧重于数据采集和机器人技术。
• Red Pitaya ：专为数据采集设计，具有两个 DAC 和两个 ADC，运行速度高达 125 MHz，直接连接到现场可编程门阵列（FPGA），并由两个运行 Linux 的通用处理器核心控制。
• NVIDIA Jetson Nano ：面向机器学习应用，具有运行 Linux 的双核处理器和 128 核图形处理单元（GPU），支持 CUDA 编程语言，可加速机器学习算法。

3.5 趣味项目资源

除了众多以 Arduino 和 Raspberry Pi 为特色的业余爱好者杂志外，还可以在以下网站找到很多有趣的项目：
- create.arduino.cc/projecthub
- magpi.raspberrypi.com ：有超过 100 期的《MagPi》杂志可供免费在线阅读（可自愿捐赠）。
- www.instructables.com/circuits
- hackaday.com

以下是不同计算机和微控制器的特点对比表格：
|设备类型|特点|适用场景|
| ---- | ---- | ---- |
|Arduino 开发板|使用 Arduino IDE 编程，易于上手|基础电子项目开发|
|ATtinys、PICs、MSP430s 等|针对特定用途优化，功能多样|低功耗、特定功能项目|
|Raspberry Pi Pico|体积小，有多种编程方式|小型嵌入式项目|
|桌面或笔记本电脑|资源丰富，软件生态完善|项目快速移植和测试|
|ODROID - C4|规格与 Raspberry Pi 相似|替代 Raspberry Pi 项目|
|Beagleboard|侧重于数据采集和机器人技术|相关领域项目开发|
|Red Pitaya|高速数据采集能力强|数据采集密集型项目|
|NVIDIA Jetson Nano|适合机器学习应用|机器学习项目开发|

下面是探索电子领域的流程 mermaid 图：

graph LR
    A[确定研究方向] --> B{选择资源类型}
    B --> |传感器| C[访问分销商网站]
    B --> |电子学知识| D[阅读参考书籍]
    B --> |微控制器| E[了解不同类型微控制器]
    B --> |计算机| F[选择合适计算机替代方案]
    C --> G[研究传感器规格]
    D --> H[学习电子学原理]
    E --> I[学习编程和开发]
    F --> J[移植或开发项目]
    G --> K[应用传感器到项目]
    H --> K
    I --> K
    J --> K
    K --> L[寻找趣味项目实践]

通过以上内容，我们对电子电路的基础理论、数据拟合方法以及进一步探索电子领域的方向有了较为全面的了解。无论是从理论知识的学习，还是到实际项目的实践，都为我们在电子领域的深入研究提供了丰富的资源和方法。