刚体动力学算法第一章简介（Chapter 1 Introduction）

最新推荐文章于 2024-01-03 16:24:31 发布

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#算法

第一章简介（Chapter 1 Introduction）

刚体动力学是一门古老的学科，但被计算机赋予了新的活力和变革。今天，我们可以在计算机游戏、动画和虚拟现实软件、模拟器、运动控制系统以及各种工程设计和分析工具中找到动力学计算。在每种情况下，计算机都会计算与物理系统的刚体近似运动相关的力、加速度等。

本书的主要目的是展示一系列在计算机上执行各种动力学计算的有效算法。每个算法都有详细的描述，以便读者可以理解它是如何工作的以及为什么它是高效的；并解释了基本概念，例如递归公式、分支诱导稀疏性和关节型刚体惯性。

刚体动力学通常使用 3D 向量来表达。然而，本书的主题是动力学算法，这个主题最好使用 $\mathrm{D}$ 向量来表达。因此，我们采用基于空间向量的 $\mathrm{D}$ 表示法，这将在第 2 章中进行解释。与 3D 向量相比，空间表示法大大减少了代数量，简化了描述和解释动力学算法的任务，并且简化了在计算机上实现算法的过程。

本章对本书的主题进行了简短介绍。它介绍了一些关于动力学算法的内容，一些关于空间向量的内容，并解释了本书的组织方式。

1.1 动力学算法

刚体动力学定义了运动方程，来描述作用在物理系统上的力和产生的加速度的关系。动力学算法则是计算这些物理量数值解的方法。我们主要关注两种类型的动力学：

正向动力学（forward dynamics）: 给定外力，计算刚体系统的加速度响应
逆向动力学（inverse dynamics）: 给定加速度，计算必须施加到刚体系统的力

正向动力学主要用于仿真模拟。
逆动力学有多种用途，例如：运动控制系统、轨迹规划、机械设计以及作为正向动力学计算的组成部分。刚体系统的运动方程可以写成以下规范形式：
$\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{H}(\boldsymbol{q}) \ddot{\boldsymbol{q}}+\boldsymbol{C}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}) . \tag{1.1}$
在此方程中， $q\boldsymbol{q}$ ， $q˙\dot{\boldsymbol{q}}$ 和 $q¨\ddot{\boldsymbol{q}}$ 分别是位置、速度和加速度变量的向量， $τ\boldsymbol{\tau}$ 是外力的向量。 $H\boldsymbol{H}$ 是由 $q\boldsymbol{q}$ 确定的惯量矩阵，记为 $H(q)\boldsymbol{H}(\boldsymbol{q})$ 。 $C\boldsymbol{C}$ 是力项的向量，它考虑了科里奥利力、离心力、重力以及作用在系统上（除了 $τ\boldsymbol{\tau}$ 中的力）之外的任何其他力。写作 $C(q,q˙)\boldsymbol{C}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}})$ 以表示它是 $q\boldsymbol{q}$ 和