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Chapter 5 Inverse Dynamics逆动力学是指在刚体系统中寻找产生给定加速度所需的力。逆动力学计算在运动控制系统、轨迹设计和优化（例如用于机器人和动画角色）、机械设计以及某些正向动力学算法中都有应用。最后一个应用在第6章中介绍。逆动力学计算可以用以下方程表示：τ=ID(model⁡,q,q˙,q¨),\boldsymbol{\tau}=\mathrm{ID}(\operatorname{model}, \boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, \dd

刚体系统是由组件部分组成的。这些组件包括刚体、关节和各种力元素。关节负责系统中的运动约束，因此我们广义地将术语“关节”解释为两个刚体之间任何可能的运动关系。在本章中，我们将从组件部分的角度来描述刚体系统的方法。特别是，我们试图描述仅由刚体和关节组成的系统。这样的描述可以称为系统模型，因为它描述的是系统本身，而不是其行为的某个方面。系统模型的作用可以如下理解。假设我们希望在计算机上计算给定刚体系统的动力学。基本上有两种方法：(a) 基于模型的动力学计算程序；或者(b) 基于模型的自动方程（和代码）生成器。第二

3.4 约束分类运动约束可以根据其对刚体系统施加的约束性质进行分类。在每种情况下，约束都由系统的运动变量的代数方程描述，但方程的形式各不相同。如图3.1所示，有一个标准的分类层次结构。图3.1：运动约束的分类首先区分等式约束和不等式约束。前者源于两个刚体之间的永久物理接触；后者则在刚体既可以接触又可以分离时产生。不等式约束可用于描述碰撞、弹跳和失去接触等现象。它们是第11章的主题，在这里不再进一步考虑。接下来区分完整约束和非完整约束。前者是对位置变量的约束，通常源于滑动接触（sliding con

Chapter 3 刚体系统动力学动力学算法的目的是对运动方程进行数值求解，但在我们能够进行求解之前，我们首先需要知道这个方程是什么。本章介绍了一个一般刚体系统的运动方程，并提供了多种从简单方程构建这些方程的方法。这些方法构成了后续章节中出现的各种算法的基础。然而，本章的重点主要是刚体动力学的数学，而不是特定的算法。刚体系统是由刚体组成的集合，这些刚体可以通过关节连接在一起，并且可能受到各种力的作用。关节的效果是对所连接的两个刚体施加运动约束：在某些方向上允许相对运动，而在其他方向上不允许。更准确地说，

2.10 微分(Differentiation)向量以与标量相同的方式进行区分。如果 v(x)\boldsymbol{v}(x)v(x) 是一个关于标量变量 xxx 可微的向量函数，则其导数可以表达为ddxv(x)=lim⁡δx→0v(x+δx)−v(x)δx(2.35)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \boldsymbol{v}(x)=\lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\boldsymbol{v}(x+\delta x)-\bo

2.8 坐标变换(Coordinate Transforms)运动矢量从 AAA 坐标系到 BBB 坐标系的坐标变换通常写为 BXA{ }^{B} \boldsymbol{X}_{A}BXA​，力矢量的相同变换为 BXA∗{ }^ {B} \boldsymbol{X}_{A}^{*}BXA∗​。这两个方程的关系式为 BXA∗=BXA−T{ }^{B} \boldsymbol{X}_{A}^{*}={ }^{B} \boldsymbol{X}_{A}^{-\mathrm{T }}BXA∗​=BXA−T​（参

第二章 空间向量代数（Chapter 2 Spatial Vector Algebra）空间矢量是结合了刚体运动和力的线性和角度方面的 6D 矢量。空间矢量为研究刚体动力学提供了一种简洁的符号，在这种符号中，一个空间矢量可以完成两个三维矢量的工作，一个空间方程可以取代两个（有时是多个 ）三维矢量方程。空间矢量符号使我们能够快速建立运动方程，并以符号 形式简洁地表达出来。空间矢量符号还能让我们快速推导出动力学算法， 并以简洁的形式表达出来，便于转换成高效的计算机代码。本章介绍空间向量代数的第一原理，直至单

刚体动力学是一门古老的学科，但被计算机赋予了新的活力和变革。今天，我们可以在计算机游戏、动画和虚拟现实软件、模拟器、运动控制系统以及各种工程设计和分析工具中找到动力学计算。在每种情况下，计算机都会计算与物理系统的刚体近似运动相关的力、加速度等。本书的主要目的是展示一系列在计算机上执行各种动力学计算的有效算法。每个算法都有详细的描述，以便读者可以理解它是如何工作的以及为什么它是高效的；并解释了基本概念，例如递归公式、分支诱导稀疏性和关节型刚体惯性。刚体动力学通常使用 3D 向量来表达。