刚体动力学学习笔记

最新推荐文章于 2024-01-03 16:24:31 发布

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本文详细探讨了刚体动力学的基本概念，包括约束、广义坐标和自由度、虚位移，以及刚体运动学中的欧拉定理、夏莱定理、动量矩和动能。进一步阐述了刚体动力学的欧拉动力学方程，分析了无力矩的刚体定点运动，以及重刚体的定点运动情况，内容深入浅出，适合力学和动力学爱好者阅读。

刚体动力学

约束：对系统内各质点的***运动状态*** 的***限制***。这种限制以数学方程形式：
$f_k(x_1,x_2,...,x_{3N}, \dot {x_1},...,\dot {x_{3N}},t)=0$
约束的分类：

❗️ 约束的分类，决定方程的选择:❗️

广义坐标：独立描述物体位形的参数：

$q_j(j=1,...L), \text{}$ L为广义坐标个数或方程的解空间的维度
自由度： $f\neq L$
- 若系统约束全部为完整约束，则该系统为完整系统，有 $f = L$
- 若系统存在非完整约束，该系统为非完整系统，则
  
  $\text{}$ S 为非完整约束的个数.
【完整约束方程】
$f(x_1,...,x_{3N},t)=0\\ x_i=x_i(q_1,...q_L,t),\space\text{(i=1,2,...3N)}$

$\sum_{j=1}^{L}B_{Kj}\dot q_j+B_{K0}=0 \space \text{,(j=1,...L, k=1,...,S)}\\ B_{Kj}=\sum_{i=1}^NA_{Ki}\frac{\partial x_i}{\partial q_i}, B_{K0}=\sum_{i=1}^NA_{Ki}\frac{\partial x_i}{\partial t}+A_{K0}\\ A_{Ki}=\frac{\partial f_k}{\partial x_i}, A_{K0}=\frac{\partial f_k}{\partial t}$
伪坐标（准坐标）

由广义坐标引出：
$\dot {q_i}=\dot q_i(u_1,...u_f,t)$
- 伪速度： $u_\mu$
- 伪坐标： $\dot \pi_{\mu}=u_\mu$

定义：
可能位移 $dx_i$ ：约束允许的、无限小位移、满足约束方程
$\sum_{i=1}^{3n}\frac{\partial f}{\partial x_i}{\rm d}x_i+\frac{\partial f}{\partial t}{\rm d}t=0$
实位移：可能位移的一个，无限小位移，满足约束方程，满足动力学方程及运动初始解。
虚位移：约束“瞬时凝固”，约束所允许的无限小位移。
$\sum_{i=1}^{3N}A_{Ki} {\rm \delta} x_i=0$
由广义坐标变分表示的虚位移：
$\delta x_i = \sum_{j=1}^L\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\delta q_j$

方向余弦矩阵
- 惯性系 $\Bbb OXYZ$
- 固连坐标系/连体坐标系 $\it oxyz$
  
  $A_{01}= \begin{bmatrix} \cos{\hat{({\pmb e}_{x_1},{\pmb e}_{x_0})}} & \cos{\hat{({\pmb e}_{y_1},{\pmb e}_{x_0})}} &\cos{\hat{({\pmb e}_{z_1},{\pmb e}_{x_0})}} \\ \cos{\hat{({\pmb e}_{y_1},{\pmb e}_{x_0})}} & \cos{\hat{({\pmb e}_{y_1},{\pmb e}_{y_0})}} &\cos{\hat{({\pmb e}_{z_1},{\pmb e}_{y_0})}}\\ \cos{\hat{({\pmb e}_{z_1},{\pmb e}_{x_0})}} & \cos{\hat{({\pmb e}_{y_1},{\pmb e}_{z_0})}} &\cos{\hat{({\pmb e}_{z_1},{\pmb e}_{z_0})}} \end{bmatrix}$