证明STINGY SAT是NP-complete问题

要证明要这个问题之前，我们先来回顾一下，什么是SAT问题，以下概念摘自课本算法概论（注释版）。

对于一般的SAT来说，给定一个有穷的布尔变量集合X = {X1,X2,,,,,,,Xn}, |X| = n,每个变量取值0或1，一组字句C = C1∩C2∩.......交Cn，每个Ci是由多个变量组成的析取范式，长度不限，即Z1 ∨Z2∨Z3∨...........∨Zn。问：给定一个布尔变量集合X和字句集合C，是否存在一个真值赋值，使得C为真，即每个字句为真。

而STINGY_SAT定义如下，对于给定的集合来说，至多有k个变量为真，使得给定的SAT为真。

证明思路如下：首先要说明STINGY SAT 的解是可在多项式时间内验证的，这样既可说明STINGY SAT是NP问题，这个是很容易说明的。

接下来只要将SAT归约到STINGY_SAT即可，这时我们不妨将变量的总数设为k，令f为STINGY_SAT的一个实例。x为一组赋值。

则只需要证明x是f的解当且仅当x是（f，k）的解。

充分性：假设x是f的解，则至多由k个变量为真，则对于这样一组赋值x来说，（f，k）也为真，所以x是（f，k）的解。

必要性：假设x是（f，k）的解，则x也是f的解

综上所述，STINGY SAT 是一个NP-complete问题。