8、数字信号处理：窗口、变换与线性滤波器

数字信号处理：窗口、变换与线性滤波器

1. 周期与对称窗口

在信号处理中，窗口函数是一种常用的工具，用于对信号进行加权处理。对于 $n \in {0, \cdots, N - 1}$，有两种汉明窗口的表达式：
- 周期汉明窗口：$w_p(n) = 0.54 - 0.46 \cos(\frac{2\pi n}{N})$，其周期为 $N$，即 $w_p(0) = w_p(N)$，常用于信号频谱分析的加权窗口。
- 对称汉明窗口：$w_s(n) = 0.54 - 0.46 \cos(\frac{2\pi n}{N - 1})$，具有对称性，即 $w_s(0) = w_s(N - 1)$，$w_s(1) = w_s(N - 2)$ 等，常用于长度为 $N$ 的 FIR 滤波器设计的加权窗口。

如果你有 MATLAB® 信号处理工具箱，可以输入 help hamming 查看相关帮助。不同版本的工具箱可能提供不同类型的窗口选择。

2. 短时傅里叶变换

2.1 傅里叶变换的局限性

傅里叶变换通过在时间轴上计算平均值，将信号与永恒的指数函数进行“比较”。因此，它更适合研究随时间变化较小的现象，而对于短暂的、瞬态的现象则不太适用。不过，在满足一定条件下，傅里叶变换是双射的，信息不会丢失。

例如，考虑由两个连续的正弦波组成的信号 $x(t)$，其持续时间分别为 $T_1$ 和 $T_2$，频率分别为 $f_1 = 0.1$ 和 $f_2 = 0.2$。可以使用以下 MATLAB 代码创建该信号：

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