35、矩阵代数基础结果

矩阵代数基础结果

1. 特征值与特征向量基础

对于矩阵(A)，若(u)和(\lambda)是其特征向量 - 特征值对，设(u_i)是(u)中模最大的分量。由(Au = \lambda u)的第(i)行可得：
[
a_{ii}u_i + \sum_{l\neq i} a_{il}u_l = \lambda u_i
]
变形为：
[
a_{ii} + \sum_{l\neq i} a_{il}\frac{u_l}{u_i} = \lambda
]
取绝对值并注意到(\left|\frac{u_l}{u_i}\right| \leq 1)，可得(|\lambda - a_{ii}| \leq \sum_{l\neq i} |a_{il}|)，这表明(\lambda)属于特定的集合(D_i)。

2. 埃尔米特矩阵及其特征值

2.1 埃尔米特矩阵定义与性质

一个(n\times n)的复矩阵(A)，若(A = A^H)，则称其为埃尔米特矩阵。显然，它是正规矩阵，即(AA^H = A^HA)。根据正规矩阵的谱定理，它可对角化，特征值为(\lambda_i)，(i = 1, \cdots, n)，且所有特征值均为实数。
- 若所有特征值都大于零，则(A)为埃尔米特正定矩阵，即对于所有(x\in C^n)，(x^HAx > 0)。
- 若所有特征值都大于等于零，则(A)为埃尔米特半正定矩阵，即对于所有(x\in C^n)，(x^HAx \geq 0)。

将(n\times n)埃尔米特矩阵写成(A = C + jS)，其中实矩阵(C = \fr