线性代数基础2矩阵

矩阵是什么
矩阵就是二维数组，下面是一个 m 乘 n 的矩阵，它有 m 行，n 列，每行每列上面都有元素，每个元素都有行标i 和列标 j， a ij 。简称m × n矩阵，记作：

注意a11的索引是 A[0,0]。
这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，数aij
位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A 的 (i,j) 元，m×n 矩阵 A 也记作 A mn 。

常见矩阵
方阵
如果 m 等于 n，那就称为方阵

对称矩阵
定义是 a ij 等于 a ji 那么就是对称矩阵，对称矩阵首先是个方阵

单位矩阵
主对角线都是 1，其它位置是 0，这称之为单位矩阵，单位矩阵写为 I，一定是方阵，等同于数字里面的 1。

对角矩阵
对角矩阵，就是主对角线非 0，其它位置是 0。

矩阵运算
矩阵加减法
矩阵的加法就是矩阵的对应位置相加，减法也是一样就是对应位置相减。

数乘
矩阵乘法
矩阵的乘法和一般的乘法是不太一样！
它是把第一个矩阵的每一行，和第二个矩阵的每一列拿过来做内积得到结果。


矩阵乘法运算结果

矩阵转置
转置的操作和向量是一样的，就是把 a ij变成 a ji ，把行和列互换一下

矩阵运算法则
矩阵加减法
满足：分配律、结合律、交换律

矩阵乘法
满足结合律
满足分配律
不满足交换律：不一定相等，甚至 AB 的尺寸和 BA 的尺寸是不同的。

矩阵乘法 + 转置

逆矩阵
逆矩阵定义
矩阵有 AB 乘法，但是没有 A/B 这么一说，只有逆矩阵。
逆矩阵怎么定义的？
假设有个矩阵 A，注意它一定是方阵（必须是方阵），乘以矩阵 B 等于单位矩阵I：
那么我们称这里的 B 为 A 的右逆矩阵，和左逆矩阵。

有个很重要的结论就是，如果这样的 B 存在的话，它的左逆和右逆一定相等，统称为 A 的逆矩阵 A −1 。则：A=B−1 B=A−1 （-1次方）
逆矩阵作用
矩阵求逆有什么用呢？它可以帮助我们解线性方程组，比如 XW=Y 。两边同时乘以 X 的逆：
就可以求解出方程的系数，它发明的目的也是干这样的事情用的。
举例说明：

# 三元一次方程
# 3x