GSL中的线性最小二乘拟合

线性最小二乘拟合

本章描述使用线性组合函数对实验数据进行最小二乘拟合的例程。数据可以是加权的，也可以是未加权的，即带有已知的或未知的错误。对于加权数据，函数计算最佳拟合参数及其相关的协方差矩阵。对于未加权数据，由点的离散度估计协方差矩阵，给出一个方差-协方差矩阵。

这些函数分为简单单参数或双参数回归和多参数拟合的版本。

40.1 概述

最小二乘拟合是，通过χ2 (卡方分布)的最小化得出的，卡方分布是模型Y (c, x)的n个实验数据(xi, yi)的残差平方的加权和。

 模型的p参数为c = { c0, c1，…}。加权因子wi由wi = 1/σi2给出，其中σi为数据点yi上的实验误差。假设误差为高斯分布且不相关。。对于未加权数据，卡方和的计算没有任何权重因子。

拟合程序返回最佳拟合参数c及其p×p协方差矩阵。协方差矩阵度量由数据上的误差引起的最佳拟合参数上的统计误差σi，定义为

 式中 表示基础数据点的高斯误差分布的平均值。

     协方差矩阵由数据误差σi通过误差传播计算得到。给出了由数据δyi 的微小变化引起的拟合参数δca 的变化，

 允许根据数据上的误差来写协方差矩阵，

 对于不相关的数据，基础数据点的波动满足

 给出相应的参数协方差矩阵

 当计算协方差矩阵为无权重数据时，即数据与未知错误，和里面的权重因子wi 使用的是单一估计w = 1 /σ2，其中σ2是最佳模型计算残差的方差， 。这被称为方差-协方差矩阵。

最佳拟合参数的标准差由协方差矩阵对应对角元素σca =Caa 的平方根给出。拟合参数ca和cb的相关系数为