Lowest Common Ancestor问题的解决思路

  对于Off-Line的Lowest Common Ancestor问题，问题描述如下：

  we are given a rooted tree T and an arbitrary set P{(u,v)，...} of unordered pairs of nodes in T , and we wish to deter-
mine the least common ancestor of each pair in P .

  解决该问题有一个大名鼎鼎的方法 Tarjan’s off-line least-common-ancestors algorithm ，其中用到了disjoint set，算法如下：

  To solve the off-line least-common-ancestors problem, the following procedure performs a tree walk of T with the initial call LCA(T.root). We assume that each node is colored WHITE prior to the walk.

  LCA(u)

      MAKE-SET(u)

      FIND-SET(u).ancestor = u

      for each child v of u in T

              LCA(v)

              UNION(u,v)

              FIND-SET(u).ancestor = u

      u.color = BLACK

      for each node v such that {u,v} in P

              if v.color == BLACK

                  print "the least common ancestor of " u "and" v "is" FIND-SET(v).ancestor

  该方法的时间复杂度是O(N*α(N) + M)，其中N为T的节点数，M为P中的(u,v)的数量， α(N)在一般情况下<=4（关于这个值的解释可参见CLRS的Chapter21）。

  但是，如果P中(u,v)数量很少，或者该问题不是Off-Line的，而是实时的，这种方法就不是很有效了，因为这个算法的每一次执行都是对整个树进行处理。如果每次给你一个(u,v)对，你都要执行一遍这个算法，那时间复杂度就成了O(M*N*α(N))。因此，在这种情况下，我们可以考虑下面的方式：

  Step 1 ：整棵树也是初始化成WHITE

  Step 2 ：对于一个(u,v)，我们首先TREE-FIND(u)，在这个过程中，将经过的节点颜色变成BLACK

  Step 3 ：TREE-FIND(v)，在这个过程中，遇到的第一个WHITE节点的前一个节点即是least common ancestor

  Step 4 ：TREE-FIND(u)，将途经的节点颜色变为WHITE，这个善后处理保证了对下一个(u,v)的正确处理

  该算法时间复杂度显然为O(lg n)，在非Off-Line的问题中显然要比Tarjan’s off-line least-common-ancestors algorithm 快很多。