集合与代数系统

开篇废话。首先，我不是从一个专业的数学研究者的角度来谈论这个话题，只是从一个学生的角度来写下自己的看法，所以文中会有很多的不严谨的地方，多多包涵，也欢迎指出。

集合

集合的基本运算：交并补就不说了，提几个不常见的：
集合的差：两个集合的差是一个新的集合，这个集合中的元素是在A中出现，但是在B中不出现
A − B = { x ∣ x ∈ A & & x ̸ ∈ B } A-B= \{x| x\in A \&\& x\not\in B \} A−B={x∣x∈A&&x̸​∈B}
对称差集：对称差集也是一个集合，用A和B的并集-A和B的交集。
$$A\oplus B=(A-B)\cup (B-A)$$
所以也可以写成：
$$A\oplus B=(A\cup B)-(A\cap B)$$.
集合的幂集：对于集合A，A的所有子集构成的集合，叫做集合的幂集.记作P(A).
P ( A ) = { x ∣ x ⊂ A } P(A)=\{ x| x\subset A \} P(A)={x∣x⊂A}
广义并：集合A元素的元素构成的集合叫做集合的广义并。记作：$$\cup A$$这个有点抽象，举个例子。
A = { { a , b , c } , { a , c , d } , { a , e , f } } A=\{\{a,b,c\} ,\{a,c,d\} ,\{a,e,f\}\} A={{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}}可以看出来，集合A是一个由集合构成的集合，那么它每一个元素是一个集合，他元素的元素全部拿出来，构成一个新的集合:
∪ A = { a , b , c , d , e , f } \cup A=\{ a,b,c,d,e,f\} ∪A={a,b,c,d,e,f}
这些是高中没有学到的一些概念。需要知道一下，然后就是集合的计数，这个之前学到过了，文氏图计数，还有一种比较高级的就是容斥原理计数。这个后边专门说。
最后一个比较重要的就是集合恒等式：
集合恒等式有十多个，但是大部分都是很显然的，这里只提两个很重要的。
$$\begin{gathered} 德摩根律：A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C).(或者叫做-对\cup 的分配律)。 \\ A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)(或者叫做-对\cap 的分配律) \end{gathered}$$
以上就是集合的基础知识。集合代数和集合论都是建立在这些基本概念来说的。

（1）二元关系

有序对：首先说一下有序对的概念。两个元素x,y按照一定次数排列形成的二元组叫做一个有序对。其中，x叫做第一要素，y叫做第二要素。记作<x,y>.这个排序的规则可以是多变的，某种意义上来说，这个排序的规则就是后边要说的关系。
有序对的两大性质：
（1）不满足交换。在x!=y时，<x,y>!=<y,x>.
(2)<x,y>=<u,v>的充分必要条件：x=u,y=v.
笛卡儿积:定义一种新的集合的运算，叫做集合的笛卡儿积。A和B的笛卡儿积：
A ∗ B = { &lt; x , y &gt; ∣ x ∈ A , y ∈ B } A*B=\{&lt;x,y&gt;|x\in A,y\in B \} A∗B={<x,y>∣x∈A,y∈B}
因为二元组<x,y>是有序的，所以一般笛卡儿积不满足交换律。也不满足结合率，分配律倒是可以的。
$$\begin{gathered} A\ast (B\cup C)=(A\ast B)\cup (A\ast C)(\cap 也类似) \\ (B\cup C)\ast A=(B\ast A)\cup (C\ast A)(\cap 也类似） \end{gathered}$$
二元关系：如果一个集合满足以下两个条件的任意一个，可以称这个集合是一个二元关系。
（1）集合非空，并且它的所有元素都是有序对。
（2）集合是个空集。
对于一个二元关系R，如果有序对<x,y>在集合内，可以记作xRy.
上边我们定义了集合的笛卡尔积，那么对于集合A,B.AB构成的任何子集，可以叫做A到B的二元关系，当A=B时，可以简称A上二元关系。
在二元关系中有两个很特殊的二元关系，全域关系和恒等关系。给出定义：
E A = { &lt; x , y &gt; ∣ x ∈ A , y ∈ A } . 叫 做 A 上 全 域 关 系 I A = { &lt; x , x &gt; ∣ x ∈ A } . 叫 做 A 上 恒 等 关 系 E_{A}=\{&lt;x,y&gt;|x \in A,y\in A\}.叫做A上全域关系\\ I_{A}=\{&lt;x,x&gt;|x\in A\}.叫做A上恒等关系 EA​={<x,y>∣x∈A,y∈A}.叫做A上全域关系IA​={<x,x>∣x∈A}.叫做A上恒等关系
除了这两种特殊的关系，还有一些常用的二元关系，比如小于等于关系，包含（这里指的是当A集合是一个集合族，存在包含关系），整除关系等等。就不再一一列举，用到再说。
关系的表示：关系可以有很多种表示方法，这里主要说两种。
（1）关系矩阵。有点类似与图的邻接矩阵。aij=1表示有序对<i,j>在关系中存在。比如对于一个关系R。
R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}.那么它的关系矩阵就是:
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
(2)关系图，看这个矩阵，a[i][j]之间有边存在的充要条件就是有序对<i,j>在R中存在。这个就不画了。
关系的运算：
首先还是需要定义一下概念
（1）定义域：关系R的定义域为R中的所有有序对第一要素构成的集合。记作domR
d o m R = { x ∣ ∃ y ( &lt; x , y &gt; ∈ R ) domR=\{x|\exists y(&lt;x,y&gt;\in R) domR={x∣∃y(<x,y>∈R)
（2）值域：与之类似，所有的第二要素构成值域。记作ranR
r a n R = { y ∣ ∃ x ( &lt; x , y &gt; ∈ R ) ranR=\{y|\exists x(&lt;x,y&gt;\in R) ranR={y∣∃x(<x,y>∈R)
（3）域：定义域和值域的并叫做R的域。记作fldR。
$$fldR=domR\cup ranR$$
有了这些基础，定义两个重要的关系的运算。
（1）逆关系。设R为二元关系，R的逆关系，简称R的逆，记作:
R − 1 = { &lt; x , y &gt; ∣ &lt; y , x &gt; ∈ R } R^{-1}=\{&lt;x,y&gt;|&lt;y,x&gt;\in R\} R−1={<x,y>∣<y,x>∈R}
（2）复合关系。F,G为二元关系，那么G对F的右复合，记作FG:
F ∗ G = { &lt; x , y &gt; ∣ ∃ t ( &lt; x , t &gt; ∈ F , &lt; t , y &gt; ∈ G ) F*G=\{&lt;x,y&gt;|\exists t(&lt;x,t&gt;\in F ,&lt;t,y&gt;\in G) F∗G={<x,y>∣∃t(<x,t>∈F,<t,y>∈G)
当然，也可以定义左复合。
个人理解，逆关系就是把原来的关系的有序对位置互换，复合关系就是有序对在F和G的连续作用会形成一个新的有序对。这里举一个右复合的简单例子，比如在F中存在有序对<10,5>，在G中存在有序对<5,6>。那么G右复合F就成了<10,6>.我相信聪明的你应该了解了这时啥玩意了吧。

（2）关系的性质

关系的性质主要有五种：自反，反自反，对称，反对称，传递。
（1）自反和反自反。设R为A上二元关系，
$$\begin{gathered} 对于任意x\in A,则有<x,x>\in R.那么则称R在A上是自反的 \\ 同理：对于任意的x\in A,<x,x≯\in R.那么说R在A上是反自反的。 \end{gathered}$$
（2）对称和反对称。设R是A上二元关系。
$$\begin{gathered} 1.若\forall x\forall y(x,y\in A,<x,y>\in R-><y,x>\in R).其实就是在说： \\ 若<x,y>在R中存在，那么<y,x>也一定存在，满足这样的关系是对称的。 \\ 2.反对称的定义比较奇怪：\forall x,y(x,y\in A,<x,y>\in R,<y,x>\in R-->x=y) \\ 我用人话解释一下这个定义：反对称其实就是在说这个关系中，如果（x,y） \\ 存在，并且<y,x>也存在，这种情况只有在y=x发生，这样的关系叫做反对称的。 \end{gathered}$$
似乎是有点不太好理解
（3）传递就很好理解了，如果<x,y>存在，<y,z>也存在，那么可以推出<x,z>存在，这样的二元关系具有传递的性质。
关系的这五大性质，是很重要的，后边的特殊关系，都属根据这些关系独特的性质划分的。

（3）等价关系和等价类

首先等价关系是一类很特殊的二元关系这不废话
等价关系的定义：设R是非空集合A上的关系，如果R是自反，对称，传递的，那么称R是A上的等价关系。如果一个二元组<x,y>属于R，那么可以说x等价y，记作x~y.
个人观点：等价关系其实就是再说，在这个关系中，<x,y>实可以互相替代了，有了x就可以知道y，x能干的的事情y也都能干。
现在提一个重要概念：等价类。等价类的是在对集合做划分时经常用的。我们按照一定的关系，把集合中的元素划分为集合部分，每个部分之间是一个等价类。其实这为划分某些集合提供了一个标准，在图分割的理论中十分的重要。
等价类：设R是非空集合A上的等价关系:
∀ x ∈ A , [ x ] R { y ∣ y ∈ A , x R y } [ x ] R 为 x 关 于 R 的 等 价 类 ， 简 称 为 x 的 等 价 类 。 记 作 [ x ] \forall x \in A,[x]_{R}\{ y|y\in A,xRy\}\\ [x]_{R}为x关于R的等价类，简称为x的等价类。记作[x] ∀x∈A,[x]R​{y∣y∈A,xRy}[x]R​为x关于R的等价类，简称为x的等价类。记作[x]
从图论中的观点来看等价类：因为关系R是满足自反，对称，传递的，所以每个点都存在自环。每个对于[x]与[y],如果这两个等价类相同，那么在图中他们是一个带有自环，和环的联通分量。如果等价类不同，那么他们之间没有任何有向边连接。根据等价类划分集合，可以把集合划分为若干强连通分量，彼此之间互相独立。

（4）偏序关系

代数系统

（1）群

（2）环

（3）格