细雨潜行

y=sgnx=⎧⎩⎨−1,0,1,x < 0x = 0x > 0y = sgnx =\begin{cases}-1, & \text{$x$ < 0} \\0, & \text{$x$ = 0} \\1, & \text{$x$ > 0}\end{cases}定义域D(f)=(−∞,+∞)D(f) = (-\infty, +\infty)，值域R(f)={−1,0,1}R(f) = \{-

y=xny=x^n，nn为正整数，y′=nxn−1y^\prime=nx^{n-1} y=sinxy=\sin x，y′=cosxy\prime=\cos x y=cosxy=\cos x，y′=−sinxy\prime=-\sin x y=axy=a^x，y′=axlnay\prime=a^x\ln a y=logaxy=\log_ax，y′=1xlogae=1xlnay\prime=\f

导数反映出函数相对于自变量的变化而变化的快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数值变化的近似值。导数的定义设函数y=f(x)y=f(x)在U(x0)U(x_0)内有定义，如果极限 limx→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} 存在，则称该极限值为f(x)f(x)在点x0x_0处的导数(也称函数f(x)f(x)在

若函数y=f(x)∈C([a,b])y=f(x) \in C([a, b])，且f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b)<0，则至少存在一点x0∈(a,b)x_0\in(a, b)，使得f(x0)=0f(x_0)=0。上述定理的几何意义十分明显。若函数y=f(x)y=f(x)在闭区间[a,b][a, b]上连续，且f(a)f(a)与f(b)f(b)不同号，则函数y=f(x)y=f(x)对应

设函数f(x)f(x)在U(x0)U(x_0)内有定义，如果当自变量的增量Δx\Delta x趋于0时，相应的函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)也趋于0，即 limΔx→0Δy=0\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=0 则称函数f(x)f(x)在点x0x_0处连续。

设α(x)\alpha(x)，β(x)\beta(x)是同一极限过程中的两个无穷小量： limα(x)=0,limβ(x)=0\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=0则有如下定义limα(x)β(x)=A=⎧⎩⎨0，高阶无穷小量，记为α(x)=o(β(x))1，等价无穷小量，记为α(x)∼β(x)其它，同阶无穷小量，记为α(x)=O(β(x))\lim\frac{\alpha(

{(1+1n)n}\{(1+\frac{1}{n})^n\}

limx→x0f(x)=a\lim_{x \to x_0}f(x)=a的充要条件是：∀ϵ>0\forall\epsilon>0，∃δ>0\exists \delta>0，当x1，x2∈D(f)x_1，x_2\in D(f)且0<|x1−x0|<δ0<|x_1 - x_0|<\delta，0<|x2−x0|<δ0<|x_2 - x_0|<\delta时，有|f(x1)−f(x2)|<ϵ|f(x_1)

设在点x0x_0的某去心领域内有 F1(x)⩽f(x)⩽F2(x)F_1(x)\leqslant f(x)\leqslant F_2(x)， 且limx→x0F1(x)=limx→x0F2(x)=a\lim_{x \to x_0}F_1(x)=\lim_{x \to x_0}F_2(x)=a， 则limx→x0f(x)=a\lim_{x \to x_0}f(x)=a

e=limn→∞(1+1n)ne = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^ndexdx=ex+dx−exdx=exedx−1dx\frac{de^x}{dx} = \frac{e^{x+dx} - e^x}{dx}=e^x\frac{e^{dx}-1}{dx}即证： edx−1dx=1\frac{e^{dx}-1}{dx}=1令： t=edx−1t = e^

若∀M>0\forall M>0，总∃δ>0\exists\delta>0，当x∈U∘(x0,δ)x\in \overset{\circ}{U}(x_0,\delta)时，|f(x)|>M|f(x)|>M恒成立，则称f(x)f(x)当x→x0x\to x_0时是一个无穷大量。

对于∀ϵ>0\forall\epsilon > 0，总∃N\exists N，当n>Nn > N时， |xn−a|<ϵ|x_n-a|<\epsilon，也即xn∈U(a,ϵ)x_n\in U(a,\epsilon)，则称数列{xn}\{x_n\}收敛，aa称为数列{xn}\{x_n\}当n→∞n\to\infty时的极限，记为limn→∞xn=a\lim_{n\to\infty}x_n=a若数列{x

映射函数映射定义：设A，B是两个非空的集合，若对A中的每个元素x，按照某种确定的法则f，在B中有唯一的一个元素y与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作： f:A→Bf: A \to B 或 f:x↦y,x∈A f: x \mapsto y, x \in A映射通常可以分为：映射、满射、单射、一一映射。定义：设有映射g:A→B,f:B→Cg: A \to B, f: B \to C，于是

定义：设函数f(x)f(x)的定义域为D(f)D(f)，若存在一个不为零的常数T，使得对任意x∈D(f)x \in D(f)，有(x±T)∈D(f)(x \pm T) \in D(f)且f(x±T)=f(x)f(x \pm T) = f(x)，则称f(x)f(x)为周期函数，其中使上式成立的常数T称为f(x)f(x)的周期。通常，函数的周期是指它的最小正周期，但并不是所有周期函数都有最小正周期。特例

设曲线y=f(x)y=f(x)在点P0P_0处的坐标为(x0,y0)(x_0, y_0)，当自变量由x0x_0变到x0+Δxx_0 + \Delta x时，点P0P_0沿曲线移动到点P(x0+Δx,y0+Δy)P(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)，直线P0PP_0P是曲线y=f(x)y=f(x)的割线，其倾角记为φ\varphi。由上图可得： tanφ=ΔyΔx\ta