导数与微分

导数反映出函数相对于自变量的变化而变化的快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数值变化的近似值。

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导数的定义

设函数$y=f(x)$在$U(x_0)$内有定义，如果极限

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
存在，则称该极限值为$f(x)$在点$x_0$处的导数(也称函数$f(x)$在点$x_0$处可导)，记为：

$$f^{\prime}(x_0)=\frac{dy}{dx}\Bigg|_{x=x_0}=\frac{df(x)}{dx}\Bigg|_{x=x_0}=y^\prime\big|_{x=x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$