自然常数e相关数列收敛

证明$\{(1+\frac{1}{n})^n\}$收敛，只需证明此数列单调增加，且有上界即可。

当$a>b>0$时，有

$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)(a^n+a^{n-1}b+...+ab^{n-1}+b^n)$

也即
$a^n[(n+1)b-na]<b^{n+1}$

取$a=1+\frac{1}{n},b=1+\frac{1}{n+1}$代入上式可得
$(1+\frac{1}{n})^n<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$

故数列是单调增加的。
取$a=1+\frac{1}{2n},b=1$代回式子可得
$(1+\frac{1}{2n})^{2n}<4$，由此可得数列有上限，也即上限小于4。故可得此数列收敛。记作

$$\lim_{n\to +\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$$

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下面证明

$$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x=e$$

1、对于$x\to +\infty$的情形
$\forall x， \exists n\in N$，使得$n\leqslant x < n+1$，故有$1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\leqslant 1+ \frac{1}{n}$及$(1+\frac{1}{n+1})^n<(1+\frac{1}{x})^x <(1+ \frac{1}{n})^{n+1}$，也即

$$\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}<(1+\frac{1}{x})^x <(1+ \frac{1}{n})^{n}(1+\frac{1}{n})$$
对上式求极限，并使用夹逼定理可得
$$\lim_{x \to +\infty}(1 + \frac{1}{x})^x=e$$

2、对于$x\to -\infty$的情形
若令$x=-(t+1)$，则$x \to -\infty$时，$t \to +\infty$，故

$$\lim_{x \to -\infty}(1 + \frac{1}{x})^x=\lim_{t\to +\infty}(\frac{t}{t+1})^{-(t+1)}=\lim_{t\to +\infty}(1 + \frac{1}{t})^{t+1}=\lim_{t\to +\infty}(1 + \frac{1}{t})^t(1+\frac{1}{t})=e$$

因此故得证：

$$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x=e$$