线性代数-第7篇：特征值与特征向量：揭示矩阵的内在特性

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分类专栏： 人工智能(AI) 文章标签： 线性代数 人工智能 大数据 矩阵
于 2025-04-20 23:39:16 首次发布
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线性代数-第7篇：特征值与特征向量：揭示矩阵的内在特性

在理解矩阵的基础运算与核心指标后，我们将深入探索特征值与特征向量——这对概念不仅是线性代数理论的精髓，更是解锁人工智能、量化投资和大数据分析复杂问题的关键钥匙。通过本文，你将了解它们的原理、计算方法及其在各领域的核心应用。

一、什么是特征值与特征向量？

对于一个方阵 A\mathbf{A}A，若存在非零向量 v\mathbf{v}

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线性代数-第17篇：特征值与特征向量：矩阵的内在特征
无
04-22 114
对于方阵A\mathbf{A}A，若存在非零向量v\mathbf{v}v和标量λ\lambdaλAvλvAvλv则称λ\lambdaλ为矩阵A\mathbf{A}A的特征值v\mathbf{v}v为对应于λ\lambdaλ的特征向量。直观上，特征向量在矩阵A\mathbf{A}A的线性变换下，方向保持不变（或变为相反方向），仅发生长度的伸缩，伸缩倍数即为特征值。特征值与特征向量通过挖掘矩阵的内在特性，为复杂系统的分析与优化提供了核心工具。
线性代数-第6篇：行列式与秩：数据独立性与有效维度
最新发布
无
04-20 93
行列式与矩阵的秩从数值和结构两个层面刻画了矩阵的本质特性。行列式帮助我们判断矩阵的可逆性与变换效果，而秩则揭示了数据的有效信息含量。这些概念在AI模型训练、量化投资决策和大数据处理中不可或缺。下一篇《线性代数-第7篇：特征值与特征向量：揭示矩阵的内在特性》中，我们将深入探讨特征值与特征向量的原理，解析它们如何在数据降维（如PCA）、图像压缩、推荐系统等领域发挥核心作用。如果你对行列式计算、秩分析的实际操作有疑问，欢迎在评论区留言！
矩阵特征值
稻草人的专栏
09-20 1907
矩阵特征值 编辑 本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核。 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
线性代数教程 线性方程组
dabusidede的博客
11-23 7809
优快云 的文档显示有一些问题，一些数学符号显示不正确，想看 word文档 的可以移步到 github：https://github.com/IceEmblem/-/tree/master/%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E8%B5%84%E6%96%99/%E5%B9%B3%E5%8F%B0%E6%97%A0%E5%85%B3/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0 线性方程组消元解法 消元解法 1） 2x + 3y = 8 2 ）x + 2y =...
【矩阵计算】特征值计算
m0_51324446的博客
04-08 6601
一、理论基础 1、Schur分解 如果复矩阵𝐴∈𝐶^(𝑛×𝑛),那么存在一个酉矩阵Q∈𝐶^(𝑛×𝑛)，使得 Q^H AQ=T=D+N 这里D=diag(μ1,⋯,μ𝑛),𝑁∈𝐶^(𝑛×𝑛)是严格上三角矩阵。进一步可以选取𝑄Q使得特征值μ𝑖"μ" _i沿对角线按任一给定的次序出现。 2、Schur分解唯一性 当A时正规矩阵（A^H A=AA^H），此时酉矩阵Q是存在唯一的。 二、非对称特征值计算 1.幂法计算非对称矩阵特征值 function [rou,iter]=powermeth
矩阵的特征值和特征向量的性质
rgbhi的博客
04-01 2万+
什么是特征值和特征向量 A为一个N阶方阵，为一个向量，为一个值。 满足上述等式，则称为一个特征向量，为一个特征值 注：1、方阵才有特征值、特征向量，非方阵没有 2、特征向量 3、设，则复数范围内，A恰有N个特征值 4、对于每个特征值，都有无穷个特征向量 证： 所以为满足为特征值的一个特征向量，则任意乘以一个非零数k，则任然为满足为特征值的一个特征向量 所以可以得出，为特征值时，有无穷个特征向量与其对应，即， 并且，其中的任意两个相加，都为为特征值时的特征向量 5、若为的解...
线性代数课件-矩阵的特征值与特征向量.ppt
11-28
线性代数是数学的一个重要分支，特别是在计算机科学和工程领域有着广泛的应用。在这个主题中，我们关注的是矩阵的特征值和特征向量，这是...因此，对特征值和特征向量的深入探讨和实践是提升线性代数能力的重要部分。
线性代数学习之特征值与特征向量
webor2006的博客
10-22 6万+
什么是特征值和特征向量： 在上一次线性代数学习之行列式 - cexo - 博客园学习了行列式相关的一些概念，其中也多次提到学好行列式是为了学习“特征值和特征向量”的基础，所以此次就正式进入这块内容的学习，也是线性代数中非常重要的概念，因为它又是线性代数其它重要概念的基石比如矩阵的相似性等等，当然这一块的学习也是比较抽象的，得耐住性子一点点来挼，也是就一定得要慢！！！ 也是方阵的一个属性： 在正式学习特征值和特征向量之前，先站在一个更高的角度来看一下它们是一个什么？在上一次学习行列式时就说它是方阵的一个
矩阵的特征值和特征向量
沈春旭的博客
03-22 7163
1.目的： 1.1理解矩阵的特征值和矩阵向量的概念及性质 1.2会求矩阵的特征值以及特征向量 2. 特征矩阵、特征向量的定义及求解 3.经典例题 4. 讨论 由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此有结论如下：
如何理解矩阵特征值？
GarfieldEr007的专栏
05-19 1万+
李浩 ，FPA蓝色 / EE。 知乎用户、Tavion Fu、雄哼哼 等人赞同 补充：答主现在用到的多数是对称矩阵或酉矩阵的情况，有思维定势了，写了半天才发现主要讲的是对称矩阵，这答案就当科普用了。特征值在很多领域应该都有自己的用途，它的物理意义到了本科高年级或者研究生阶段涉及到具体问题的时候就容易理解了，刚学线性代数的话，确实抽象。 ——————————————————
特征值和特征向量
蜗牛
05-22 13万+
介绍特征向量和特征值在计算机视觉和机器学习中有许多重要的应用。众所周知的例子是PCA（主成分分析）进行降维或人脸识别是特征脸。特征向量和特征值的一个有趣应用在我的另一篇有关误差椭圆的博文中提到。此外，特征值分解形成协方差矩阵几何解释的基础。在这篇文章中，我将简单的介绍这个数学概念，并且展示如何手动获取二维方形矩阵的特征值分解。特征向量是一个向量，当在它上面应用线性变换时其方向保持不变。考虑下面的图像
【数学基础】矩阵的特征向量、特征值及其含义
qq_32742009的博客
08-31 12万+
在线代课上，老师会教我们怎么求矩阵的特征值与特征向量。但是并不会讲特征值与特征向量到底有着什么样的几何意义或者物理意义，或许讲了但也比较模糊。矩阵的特征值与特征向量在各种机器学习算法与应用场景中都有出现，每次出现都有着其独特的意义。在这里也只是简述一二。 一、方阵的特征值与特征向量 1、特征值与特征向量的定义： 定义1:设是阶方阵，若数和维非零列向量，使得成立，则称是方阵的一个特征值，为方阵...
矩阵特征值求法实例
h_l_dou的博客
10-30 4万+
矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。 矩阵特征值方法 对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是： 即说明特征根是特征多项式|λ0...
如何理解矩阵特征值的意义？
wl_shu的专栏
05-22 7126
如何理解矩阵特征值的意义？ 毕业多年，曾经有同事问我该如何理解特征值的意义？ 当时，实在羞愧，我一学数学的，真不知该如何回答。 ...... 多年后有点感悟了，就当还愿吧，本文将从几何、医学、物理三个视角试图阐释：如何理解矩阵特征值的意义？希望能给在校大学生和毕业多年仍对此一头雾水的朋友一点启发。
矩阵的特征值
小童童的博客
01-09 1855
A是n阶方阵，如果存在常数λ和n维非零列向量x，使得等式Ax=λx成立，称λ为A的特征值，x是对应特征值λ的特征向量。 函数调用特征值与特征向量 函数调用格式有两种 E=eig(A) 求矩阵A的全部特征值，构成向量E。 [X,D]=eig(A) 求矩阵A的全部特征值构成矩阵D，并产生X，X各列是相应的特征向量。 A=[1 5 4;6 6 7;4 6 8] [X,D]=eig(A); X D ...
矩阵特征值和特征向量详细计算过程
热门推荐
Junerror的博客
05-07 50万+
1.矩阵特征值和特征向量定义        A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。 计算：A的特征值和特征向量。计算行列式得化简...
矩阵论（一）矩阵的特征值
goodluckcwl的专栏
03-11 4048
矩阵的特征值刻画矩阵的奇异性、反映矩阵所有对角元素的结构、刻画矩阵的正定性。 定义 若n×1n×1n \times 1非零向量uuu作为线性变换AAA的输入时，所产生的输出与输入只相差一个比例因子λλλ ,即： Au=λu,u≠0Au=λu,u≠0Au=λu, u≠0 则称标量λλλ和向量uuu分别为线性变换AAA的特征值和特征向量。 ...
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