3D数学基础：图形和游戏开发（第2版）第7章笔记

7.1节描述了二维极坐标。
7.2节给出了一些极坐标比笛卡尔坐标更可取的例子。
7.3节展示了极空间如何在三维中工作，并介绍了圆柱坐标和球面坐标。
最后，7.4节明确指出，极坐标空间既可以用来描述位置，也可以用来描述矢量。

7.1 关于二维极坐标空间

极坐标空间只有一个轴（极轴），它通常被描述为来自原点的射线。在数学文献中，极轴通常在图表中指向右，因此在笛卡尔坐标系中，它对应于+x轴。

使用二维极坐标定位一个点（r, θ）

• 步骤1。从原点开始，面向极轴的方向，旋转θ角。θ的正值通常解释为平均逆时针旋转，负值则解释为顺时针旋转。
• 步骤2。现在从原点向前移动r个单位的距离。到达了极坐标(r， θ)所描述的点。

r定义了点到原点的距离，θ定义了点到原点的方向。

注意：我们喜欢用度数表示角度，但是计算机更喜欢使用弧度来表示角度。

对于任何给定的点，有无穷多个极坐标对可以用来描述这个点。这种现象被称为别名（ Aliasing）。如果两个坐标对的数值不同，但指向空间中的同一点，则它们被称为彼此的别名。注意，在笛卡尔空间中不会出现别名——空间中的每个点都被分配了一个(x, y)坐标对：点到坐标对的映射是一对一的。

一般来说，对于除原点以外的任何一点(r， θ)，所有作为(r， θ)别名的极坐标都可以表示为（其中k是任意整数）：
$$((-1{)}^{k}r,\theta +180°)$$
一个点的最佳极坐标描述：

• r >= 0：我们不“向后”测量距离。
• −180° < θ ≤ 180度：角度限制在1/2圈，使用+180°表示朝“西”。
• r = 0 => θ = 0。在原点，把角度设为零。

将极坐标对(r， θ)转换为标准形式

1. 如果r = 0，则赋值θ = 0。
2. 如果r < 0，则r为负，并向θ加180°。
3. 如果θ≤−180°，则将θ加360°，直到θ >−180°。
4. 如果θ > 180°，则将θ减360°，直到θ≤180°。

将极坐标对(r， θ)转换为标准形式C代码：

/**
*@r: 径向距离
*@theta: 弧度为单位的角度
*/
void canonical(float &r, float &theta) {
	//声明一个2 * pi (360度) 的常量
	static float TWOPI = 2.0f * PI;
	//检查我们是否正好在原点
	if(r == 0.0f) {
	//在原点，则强制theta为零
		theta = 0.0f;
	} else {
		//处理负距离
		if(r < 0.0f) {
			r = -r;
			theta += PI;
		}
		/*
		theta是否超出范围了?
		注意，这个if()检查不是严格必要的，
		但如果浮点运算不是必需的，我们会尽量避免它们。
		如果不需要，为什么要损失浮点精度呢?
		*/
		if(fabs(theta) > PI) {
			//按 PI 值弥补
			theta += PI;
			//包含在范围 [0, TWOPI]
			theta -= floor(theta / TWOPI) * TWOPI;
			//撤消弥补，将角度转换回范围(-PI, PI]
			theta -= PI;
		}
	}
}

直角坐标和极坐标之间的转换
将二维极坐标转换为笛卡尔坐标

二维笛卡尔坐标到极坐标的转换



二维笛卡尔坐标到极坐标的转换C代码：

/**
*@x: 笛卡尔坐标x
*@y: 笛卡尔坐标y
*@r: 径向距离
*@theta: 弧度为单位的角度
*/
void conversion(float x, float y, float &r, float &theta) {
	//检查是否在原点
	if (x == 0.0f && y == 0.0f){
		//在原点，两个极坐标都为零
		r = 0.0f;
		theta = 0.0f;
	}else {
		//计算值。atan2函数是不是很棒吧?
		r = sqrt(x * x + y * y);
		theta = atan2(y, x);
	}
}

7.2 为什么有人会使用极坐标？

极坐标的出现是因为人们很自然地用距离和方向来考虑位置。(当然，在使用极坐标时，我们通常不是很精确，但精确并不是大脑的强项。)笛卡尔坐标不是我们的母语。计算机的情况正好相反——一般来说，当使用计算机解决几何问题时，使用笛卡尔坐标比使用极坐标更容易。

7.3 关于三维极坐标空间

圆柱坐标（一角两长度）
在二维极坐标的基础上添加z轴

球面坐标（两角一长度）
在三维球面空间中也有两个极轴。第一个轴是“水平的”，对应于2D极坐标中的极轴或3D笛卡尔坐标中的+x轴。另一个轴是垂直的，对应于三维笛卡尔坐标中的+y。

水平角θ称为方位角（azimuth），φ为天顶（zenith）。
你可能听说过的其他术语还有经度和纬度。经度和θ基本相同，纬度是倾斜角90°−φ。

在三维虚拟世界中有用的一些极坐标约定

• 默认水平方向在θ = 0点方向+x。这很不幸，因为对我们来说，+x点“向右”或者“东方”，这两个方向都不是大多数人心目中的“默认”方向。类似于时钟上的数字从顶部开始的方式，如果水平极轴指向+z，即“向前”或“向北”，对我们来说会更好。
• 关于φ的惯例在几个方面都是不幸的。如果二维极坐标(r， θ)能简单地通过添加第三个零坐标扩展到三维就更好了，就像我们把笛卡尔坐标系从二维扩展到三维一样。但是球面坐标(r， θ， 0)与我们想要的二维极坐标(r， θ)并不对应。事实上，赋值φ = 0会使我们陷入万向节死锁（Gimbal lock）的尴尬境地（奇点）。相反，二维平面上的点表示为(r， θ， 90°)。测量纬度可能比测量天顶更直观。大多数人会将默认值认为是水平的，而向上是极端的情况。

如果球面坐标的两个角和欧拉角（第8章）的前两个角一样就好了，本书描述一些更适合我们的目的的球面坐标：
水平角θ改名为h, h是航向（Heading）的缩写，类似于指南针的航向。零表示“向前”或“向北”的方向，这取决于上下文。方向为0对应于三维笛卡尔坐标的+z。此外，由于本书用的是左手坐标系，从上面看，正旋转将顺时针旋转。
对顶角φ被重新命名为p，它是俯仰（pitch）的缩写，用来衡量我们向上或向下看的程度。默认的俯仰值0表示水平方向，这是我们大多数人直觉上期望的。也许不那么直观，正的俯仰值是向下旋转的，这意味着俯仰值实际上测量了偏斜角（angle of declination）。

球面坐标也有别名现象（坐标系包含角度都有别名现象）
二维极空间中的奇点出现在原点，因为当r = 0时，角坐标无关紧要。在球面坐标系下，两个角度在原点都是无关的。
当俯仰角设置为±90°时(或这些值的任何别名)，出现奇点。在这种情况下，即所谓的万向节死锁（Gimbal lock），所指示的方向是纯垂直的(直上或直下)，而方向角是无关紧要的。
ps：第一次看见万向节死锁把它看成了万圣节死锁（Halloween lock）૧(●´৺`●)૭

规范球面坐标所满足的条件

• r >= 0：我们不“向后”测量距离。
• −180° < h ≤ 180°：航行限制为1/2圈。使用+180°表示朝“南”。
• −90° ≤ p ≤ 90°：俯仰限制为直上直下，不能“向后”俯仰。
• r = 0 => h = p = 0：在原点，把角度设为零。
• |p| = 90° => h = 0：当我们直接向上或向下看的时候，我们把航向设为零。

将球面坐标(r, h, p)转换为标准形式

1. 如果r = 0，那么赋值h = p = 0。
2. 如果r < 0，则r变负，h加上180°, 并使p变负。
3. p < 90°，则对p加360°，直到p ≥ 90°。
4. 如果p > 270°，则从p减去360°，直到p ≤ 270°。
5. 如果p > 90°， h加180°，设p = 180°−p。
6. h≤−180°，则对h加360°，直至h > −180°。
7. 如果h > 180°，则从h减去360°，直到h ≤ 180°。

将球面坐标(r, h, p)转换为标准形式C代码：

/**
*@r: 径向距离
*@heading: 弧度为单位的角度
*@pitch: 弧度为单位的角度
*/
void canonical(float &r, float &heading, float &pitch) {
	//声明一个2 * pi (360度) 的常量
	static float TWOPI = 2.0f * PI;
	//声明一个pi / 2 (90度) 的常量
	static float PIOVERTWO = PI / 2.0f;
	//检查我们是否正好在原点
	if(r == 0.0f) {
	//在原点，则强制角度为零
		heading = pitch = 0.0f;
	} else {
		//处理负距离
		if(r < 0.0f) {
			r = -r;
			theta += PI;
			pitch = -pitch;
		}
		//俯仰是否超出了范围?
		if (fabs(pitch) > PIOVERTWO){
			//按 PIOVERTWO 值弥补
			pitch += PIOVERTWO;
			//包含在范围 [0, TWOPI]
			pitch -= floor(pitch / TWOPI) * TWOPI;
			//是否超出了范围?
			if (pitch > PI){
				//翻转航行 
				heading += PI;
				//撤消弥补，并设置pitch = 180 - pitch
				pitch = 3.0f * PI / 2.0f - pitch;	//p = 270度 - p 
			}else{
				//撤消弥补，将角度转换回范围(-PIOVERTWO, PIOVERTWO]
				pitch -= PIOVERTWO;
			}
		}
		/*
		是否为万向节死锁？
		在这里使用相对较小的公差进行测试，接近单一精度的极限。
		*/
		if(fabs(heading) > PI) {
			//按 PI 值弥补
			heading += PI;
			//包含在范围 [0, TWOPI]
			heading -= floor(heading / TWOPI) ? TWOPI;
			//撤消弥补，将角度转换回范围(-PI, PI]
			heading -= PI;
		}
	}
}

将数学爱好者使用的球面坐标转换为三维笛卡儿坐标

本书中使用的规则的球面坐标到三维笛卡尔坐标的转换

三维笛卡尔坐标到本书中使用的规则的球面坐标的转换



原点处的奇点，即r = 0，被当作一种特殊情况处理。
三维笛卡尔坐标到本书中使用的规则的球面坐标的转换C代码：

/**
*@x: 笛卡尔坐标x
*@y: 笛卡尔坐标y
*@z: 笛卡尔坐标z
*@r: 径向距离
*@heading: 弧度为单位的角度
*@picth: 弧度为单位的角度
*/
void conversion(float x, float y, float z, float &r, float &heading, float &picth) {
	//声明一个2 * pi (360度) 的常量
	static float TWOPI = 2.0f * PI;
	//声明一个pi / 2 (90度) 的常量
	static float PIOVERTWO = PI / 2.0f;
	//计算径向距离
	r = sqrt(x * x + y * y + z * z);
	//检查是否在原点
	if (r == 0.0f){
		//在原点，两个极坐标都为零
		heading = picth = 0.0f;
	}else {
		//计算俯仰角 
		picth = asin(-y / r);
		/*
			检查是否万向节死锁，
			因为atan2库函数在(二维)原点处未定义
			在这里使用相对较小的公差进行测试，接近单一精度的极限
		*/
		if (fabs(picth) >= PIOVERTWO * 0.9999){
			heading = 0.0f;
		} else {
			heading = atan2(x, z);
		}
	}
}

7.4 使用极坐标指定矢量

对极坐标点的运算对于极坐标矢量同样有效。