3D数学基础：图形和游戏开发第二版学习笔记——2

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于 2023-08-08 22:15:24 发布 · 282 阅读

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#3d #学习 #笔记 #游戏程序

本文详细比较了三维旋转的不同表示方法，包括旋转矩阵、欧拉角的易读性、轴+角指数映射的空间冗余、以及四元数的高效性和与复数的关系，强调了它们在图形处理中的优缺点和应用场景。

第八章

本章讨论的是三维旋转，其重点是如何描述三维旋转，用了几种表示方法并进行比较。前篇文章里我们分析过了描述一个旋转需要一个轴和一个角度，这包含了四个数据，如果我们假定轴从原点出发，那么我们只需要三个数据。

旋转矩阵

前文已经得到了旋转矩阵，需要注意的是方向余弦矩阵，其与旋转矩阵等价，这个说法其实更数学， $aij$ 的值等于i,j坐标轴方向向量的点积。
优点：   1:可以直接使用
   2:和图形API接口契合
   3:方便运算（嵌套组合求逆）
缺点：   1:人类难以直接使用
   2:使用了9个数据，有6度冗余，带来空间，格式等问题（如矩阵蠕变）

欧拉角

用三个正交的轴方向的旋转角度表示旋转。
优点：   1:人类理解容易
缺点：   1:万向节死锁
   2:插值麻烦

轴+角指数映射

前文已经提到，我们呢可以用一个单位向量 $n$ 表示轴，一个 $θ$ ,表示角度，由于 $n$ 是单位向量，所以实际上它长度固定，用三个数据表示是冗余的，但是我们通过不能省去某个坐标，毕竟根据长度得到的需要判断正负，当然你可以选择某种方式去约定，当时这里有个更简单的方法： $θ n$ ，因为n长度为1，我们可以分离出 $θ$ ，这也就是指数映射，当然如果你学过李代数，你会有更深的理解。

四元数

四元数，也就是用 $(w, x, y, z)$ 来表示旋转，它当然也存储了轴 $n$ 和角度 $θ$ ，不过存储的方式比较独特：
$w,v)=(w,x,y,z)=(cos(θ/2),sin(θ/2)n)=((cos(θ/2),sin(θ/2)n_x,sin(θ/2)n_y,sin(θ/2)n_z)$