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极坐标空间只有一个轴（极轴），它通常被描述为来自原点的射线。在数学文献中，极轴通常在图表中指向右，因此在笛卡尔坐标系中，它对应于+x轴。使用二维极坐标定位一个点（r, θ）r定义了点到原点的距离，θ定义了点到原点的方向。对于任何给定的点，有无穷多个极坐标对可以用来描述这个点。这种现象被称为别名（ Aliasing）。如果两个坐标对的数值不同，但指向空间中的同一点，则它们被称为彼此的别名。注意，在笛卡尔空间中不会出现别名——空间中的每个点都被分配了一个(x, y)坐标对：点到坐标对的映射是一对一的。一般来说，

方型矩阵M的行列式记为| M |，在其他一些书中，记为“det M”。非方阵的行列式没有定义。2 × 2矩阵的行列式3 × 3矩阵的行列式如果我们把一个3 × 3矩阵的行解释为三个矢量，那么这个矩阵的行列式就等价于这三个矢量的所谓“三重积”：子矩阵行列式：假设M是一个r行c列的矩阵。考虑M中删除第i行和第j列得到的矩阵，这个矩阵显然有r - 1行和c - 1列。这个子矩阵的行列式记为M{ij}M^{\{ij\}}M{ij}，称为M的子矩阵。矩阵的余子式：Cij=(−1)i+jM{ij}C^{i

在二维中，我们只能做一种旋转：绕一个点旋转（不包括平移）。围绕原点的二维旋转只有一个参数，角θ，它定义了旋转的量。大多数数学书中的标准惯例是认为逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。(然而，不同的约定适用于不同的情况。)二维旋转矩阵在三维中，旋转发生在轴上（不考虑平移），而不是点上，旋转轴不一定是x轴、y轴或z轴中的一个，旋转的方向遵循左手规则。绕x轴旋转的三维矩阵绕y轴旋转的三维矩阵绕z轴旋转的三维矩阵绕任意轴旋转的三维矩阵推导：定义θ为绕轴旋转的量。轴将由单位矢量定义。计

4.1节严格地从数学的角度讨论了矩阵的一些基本性质和操作。(更多矩阵运算将在第6章中讨论)4.2节解释了如何几何解释这些属性和操作。4.3节将矩阵的使用在本书中更大的线性代数领域。在线性代数中，矩阵是排列成行和列的数字的矩形网格。回想我们前面将向量定义为一维数列的定义，矩阵同样可以定义为二维数列。(“二维数组”中的“二”来自于行和列，不应该与二维向量或矩阵混淆)。所以向量是标量的数组，矩阵是向量的数组。矩阵元素的下标符号表示矩阵的对角元素（diagonal elements）如果一个矩阵中所有的

大多数人认为在不同的情况下使用不同的坐标空间更方便。使用多个坐标空间的原因是仅在特定的参考系中才知道某些信息。理论上所有的点都可以用一个“世界”坐标系来表示，这可能是正确的。但是对于某一点a，我们可能不知道a在“世界”坐标系中的坐标。但是我们可以表示出与其他坐标系的相对关系（比如我知道我的电脑显示器在我的前面，但是我不知道我的电脑显示器的经纬度）。世界坐标系是一种特殊的坐标系，它为所有其他要指定的坐标系建立了“全局”参考系。换句话说，我们可以用世界坐标空间来表示其他坐标空间的位置，但是我们不能用任何更大

对数学家来说，向量是一组数字。在程序员眼里，向量 = 数组。向量的维度表示这个向量包含多少个数字。向量可以是任何正维度，包括1个。事实上，标量可以被认为是一维向量。一个水平写的向量被称为行向量，例如：[1,2,3]。一个垂直写的向量被称为列向量，例如：（也可以写成[1,2,3]T）当我们在一段中写向量时，我们通常在数字之间加逗号。当我们把它写成方程时，逗号常常被省略。向量的下标符号表示对于任何给定的向量维数，都有一个特殊的向量，称为零向量，它在每个位置上都是零。例如，三维零向量是(0, 0, 0)。我

对有理数的研究称为离散数学，对无理数的研究称为连续数学。然而，事实是，无理数只不过是一种精致的虚构。正如任何有声望的物理学家都会告诉你，它们是一种相对无害的妄想。宇宙似乎不仅是离散的，而且是有限的。由此可见，我们可以只用离散的数学来描述宇宙，并且只需要使用自然数的一个有限子集(很大，是的，但有限)。在某个地方，某个地方可能有一个外星文明，他们的技术水平超过了我们，他们从未听说过连续数学、微积分基本定理，甚至从未听说过无限的概念;即使我们坚持，他们也会坚定而礼貌地坚持不使用π，他们非常乐意使用3.14159