洛谷 P1073 最优贸易

题目

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。阿龙来 C 国旅游，他决定在旅游的同时，利用商品差价赚一点旅费。设 C 国 n 个城市的标号从 1~ n，阿龙从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束旅行。任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙会选择一个经过的城市买入水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市水晶球价格≤100。

 5 5                  5                 
 4 3 5 6 1 
 1 2 1 
 1 4 1 
 2 3 2 
 3 5 1 
 4 5 2 

题解

自己想的是正反向各跑一遍spfa，s[i]和b[i]分别记录从起点和终点到这个点的最大值和最小值。从中找一个b[j]-s[i]最大的，判断从i点能否到达j点，然而没想到怎么在很短的时间或足够小的内存之内判断。

正确的题解还是正反向各跑一遍spfa，s[i]和b[i]分别记录从起点和终点到这个点的最大值和最小值。但是应找b[i]-s[i]的最大值，写完第二种解法后我看到了b[i]-s[i]后瞬间明白了。但是我懒。

$$解法一时间复杂度O(2m)$$

第二种解法，跑一遍spfa，s[i]记录从起点到这个店的最小值，d[i]记录该点可以达到的最大差值（答案），然后就有一个类似动态规划的转移：
s[y]=min(s[y],s[x]) s[i]=w[i]
d[y]=min(d[x],w[y]-s[x]) d[i]=-10000000
注意d[i]都应赋一个很小的值，可用fillchar200，赋出来大约是-900000000，因为题目水晶球的价格<=100，最大的差值就是100，所以赋很小的值后可以从起点走到任何能到的地方，就可以A掉很多（9个）要往回走很多的数据。例：

3                      2
6 5 4
1 2 2
2 3 2

$$时间复杂度O(m)$$

代码

var
  n,m,i,j,k,z,t:longint;
  yc,ne:array[1..1000000]of longint;
  ls,d,s,w,b:array[0..100000]of longint;
  state:array[1..1000000]of longint;

procedure spfa;
var
  i,j,k,h,t,x,y:longint;
begin
  fillchar(d,sizeof(d),200);
  d[1]:=0;
  h:=0;t:=1;state[1]:=1;b[1]:=1;
  while h<t do
    begin
      inc(h);
      k:=ls[state[h]];
      while k>0 do
        begin
          x:=state[h];y:=yc[k];
          if (d[x]>d[y])or(w[y]-s[x]>d[y]) then
            begin
              if d[x]>d[y] then d[y]:=d[x];
              if w[y]-s[x]>d[y] then d[y]:=w[y]-s[x];
              if s[x]<w[y] then s[y]:=s[x];
              if b[y]=0 then
                begin
                  inc(t);
                  state[t]:=y;
                  b[y]:=1;
                end;
            end;
          k:=ne[k];
        end;
      b[state[h]]:=0;
    end;
end;

begin
  readln(n,m);
  for i:=1 to n do
    begin
      read(w[i]);
      s[i]:=w[i];
    end;
  for i:=1 to m do
    begin
      readln(j,k,z);
      inc(t);
      yc[t]:=k;ne[t]:=ls[j];ls[j]:=t;
      if z=2 then
        begin
          inc(t);
          yc[t]:=j;ne[t]:=ls[k];ls[k]:=t;
        end;
    end;
  spfa;
  if d[n]=d[0] then writeln(0) else writeln(d[n]);
end.