扩展欧几里得

百科：http://baike.baidu.com/view/1478219.htm

1.欧几里得

int gcd(int x,int y)//递归
{
	if(y==0) return x;
	return gcd(y,x%y);
}

int gcd(int x,int y)//迭代
{
	int r;
	while(y)
	{
		r=x;
		x=y;
		y=r%x;
	}
	return x;
}

2.扩展的

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+b。

解 x，y的方法：

设 a>b，

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab!=0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据 欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-[a/b]*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等定理得： x1=y2; y1=x2-[a/b]*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以

结束。

__int64 r,x,y;

void EX_Eulid(__int64 a,__int64 b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;y=0;r=a;
	}
	else
	{
	EX_Eulid(b,a%b);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-(a/b)*y;
	}
}

3.同余方程

ax ≡ b (mod n)-->ax+ny=d,d=gcd(a,n)-->EX_Eulid(a,n)-->求解x,d

其中，若b%n!=0，则上述同余方程无解

x=(x*(b/d))%n   //方程ax=b(mod n)的最小解 

x=(x+n)%(n/r)      //方程ax=b(mod n)的最小正整数解 （12x=4(mod 8),即：3x=1(mod 2)，r=4）