二分图各项

最新推荐文章于 2023-08-04 14:32:48 发布

一只会旅行的猫

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分类专栏：图论

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本文深入探讨了二分图的概念，包括黑白染色法、DFS和BFS判断方法，并详细介绍了二分图匹配的分类，如最大匹配、最小顶点覆盖、最大独立集和DAG图的最小路径覆盖。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.二分图：

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

百科：http://baike.baidu.com/link?url=iImhnK5sz4CE4b6C4ml0FrZjoLq076yjkRNTDvw0NstJTwsMa1MVp5QjIcEPsMoB

2.二分图的判断方法：

黑白染色法：

开始对任意一未染色的顶点染色，之后判断其相邻的顶点中，若未染色则将其染上和该顶点不同的颜色，若已经染色且颜色和该顶点的颜色相同则说明不是二分图，若颜色不同则继续判断。

DFS：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;

const int NM=205;
int a[NM][NM],col[NM],n;

int Color(int x)
{
	int i,t;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(a[x][i])
		{
			if(col[i]==col[x]) return false;
			if(col[i]==-1)
			{
				col[i]=1-col[x];
				t=Color(i);
				if(!t) return false;
			}
		}
	}
	return true;
}

int main()
{
	int num,x,y,i,ans;
	bool f;
	while(scanf("%d%d",&n,&num)!=EOF)
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(i=0;i<num;i++)
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			a[x][y]=a[y][x]=1;
		}
		f=0;
		memset(col,-1,sizeof(col));
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			if(col[i]!=-1) continue;
			col[i]=1;
			if(!Color(i))
			{
				f=1;
				printf("No\n");
				break;
			}
		}
		if(!f) printf("Yes\n");
	}
	return 0;
}

BFS：

int Color()
{
	int i,j,t;
	memset(col,-1,sizeof(col));
	for(i=1;i<=n;i++)  //遍历所有点，以防二分图不连通导致错误
	{
		if(col[i]!=-1) continue;
		col[i]=1;
		queue<int>q1;
		q1.push(i);
		while(!q1.empty())
		{
			t=q1.front();q1.pop();
			for(j=1;j<=n;j++)
				if(a[t][j])
				{
					if(col[t]==col[j]) return false;
					if(col[j]==-1) 
					{
						col[j]=1-col[t];
						q1.push(j);
					}
				}			
		}
	}
	return true;
}

3.二分图匹配分类：

1.最大匹配

2.最小顶点覆盖（=最大匹配(无向图/2)）

3.最大独立集（节点数 - 二分图最大匹配/2(关系是双向的)）

4.DAG图的最小路径覆盖（节点数 - 最大匹配数）