二分图学习笔记

二分图判定

使用黑白染色法，把与一个点相连的所有节点都染成与这个点不同的颜色，这样点就会被分为黑与白两个集合，如果说染色时出现了冲突，比如两个相连的点颜色均为黑色，那么黑点集中出现了边，此图便不是二分图

二分图最大匹配

任意两条边都没有公共端点的边集成为图的一组匹配，二分图中，对于包含边数最多的一组匹配称为二分图的最大匹配。匹配上的点称为匹配点，相应的有匹配边，非匹配边/点

增广路

对于一组匹配S，若二分图存在一条连接两个非匹配点的路径path，使得非匹配边与匹配边交替出现，则path就是匹配S的增广路，又称交错路

增广路具有的性质

• 长度length为奇数
• 路径上第1，3，5…length条边（第奇数条边）为非匹配边，第2，4，6…length-1条边为匹配边

因此我们如果把非匹配边变为匹配边，匹配边变为非匹配边，新的到的仍是一组匹配，并且匹配边数较原来的那组匹配增加了一条
进一步我们有推论，S为二分图的最大匹配，当且仅当图中不存在S的增广路（用反证法证明）

匈牙利算法（增广路算法）

求二分图最大匹配
算法过程是不断寻找增广路，每找到一次增广路，把增广路边取反，由增广路定义可知，匹配边数比原来的匹配多了一条

当一个点成为匹配点后，可能会因为寻找到了增广路，导致这个点更换匹配对象，但不可能使这个点变为非匹配点，因为增广路是匹配非匹配交错出现，取反后，对于路径两端点，他们成为匹配点，对于路径中的点，他们还是连接一条匹配边，一条非匹配边。

具体过程：首先认为图中不存在匹配边，即所有点都是非匹配点
设点X位于左部，点Y位于右部，X-Y有一条边
若Y是非匹配点，则X-Y为非匹配边，构成一条长度为1的增广路，对其取反，匹配边数加1
若Y已经和一个左部点匹配，则X-Y为非匹配边，找到Y的匹配点Z，再从Z出发去找另一个点k

• 若k是非匹配点，找到增广路
• 若k已经和一个左部点匹配，再找相应的匹配点，递归下去

不断重复这个过程，找到增广路后，回溯时通过改变匹配点进行取反，最后就得到二分图的最大匹配，为了避免重复搜索，还要在每次找增广路的时候开一个vis数组，搜过的点标记一下，下次访问便不再搜索，对于一次寻找增广路的过程，若从这个点出发找不到增广路，那么这个点无论一哪种方式被再次访问，依然找不到增广路

bool dfs(int x) {
    for(int i=head[x]; i; i=e[i].nxt) {
        int y = e[i].v;
        if(vis[y]) continue;
        vis[y] = 1;
        if(!match[y] || dfs(match[y])) {
            match[y] = x;//取反，匹配边是通过match来遍历的，所以通过邻接表遍历的是非匹配边
            return true;
        }
    }
    return false;
}
for(int i=1; i<=n; i++) {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    if(dfs(i)) ans++;//n指左部所有节点
}