二叉树深度计算

问题描述

https://oj.leetcode.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree/点击打开链接

Given a binary tree, find its maximum depth.The maximum depth is the number of nodes along the longest path from the root node down to the farthest leaf node.

问题分析:

二叉树类的问题都会考虑采用递归的方式进行求解,因为二叉树本身就是递归定义的。采用递归方案后解法就很直观了:

1. 空树最大深度是0.    2. max (左子树的最大深度, 右子树最大深度) + 1

示例代码:

/**
 * Definition for binary tree
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int maxDepth(TreeNode *root) 
    {
        if (!root) return 0;
        int lh = maxDepth(root->left);
        int rh = maxDepth(root->right);
        return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
    }
};

问题描述:

https://oj.leetcode.com/problems/minimum-depth-of-binary-tree/点击打开链接

Given a binary tree, find its minimum depth.The minimum depth is the number of nodes along the shortest path from the root node down to the nearest leaf node.

最小深度: 从根节点开始到叶子节点结束的最短路径上的节点数。采用递归方案的解法:

1. 空树最小深度是0.    

2. 左子树空: 右子树最小深度+ 1 

3. 右子树空: 左子树最小深度 + 1

4. min(左子树最小深度,右子树最小深度) + 1

示例代码:

int minDepth(TreeNode *root) 
    {
       if (!root) return 0;
       int hl = minDepth(root->left);
       int hr = minDepth(root->right);
       if (!hl) return hr + 1;
       if (!hr) return hl + 1;
       return hl < hr ? hl + 1 : hr + 1;
    }
最小深度和最大深度在计算的细节上有不同,需要注意体会。



### 完全二叉树深度计算方法 完全二叉树深度可以通过其节点总数来推导得出。假设一棵完全二叉树的高度为 \( h \),则该树具有如下特性: - 对于高度为 \( h \) 的完全二叉树,前 \( h-1 \) 层是一个二叉树,因此这些层中的节点总数为 \( 2^{h-1} - 1 \)[^3]。 - 第 \( h \) 层可能未被填满,但所有节点均集中分布在左侧。 如果已知完全二叉树的总节点数 \( n \),可以根据以下公式计算深度 \( h \): \[ h = \lfloor \log_2(n+1) \rfloor \] 此公式的依据在于完全二叉树的性质以及对数函数的应用[^3]。具体而言,对于任意给定的节点数 \( n \),满足条件 \( 2^{h-1} \leq n < 2^h \) 的整数值 \( h \) 即为其深度。 以下是基于递归实现的一种算法用于动态计算完全二叉树深度: ```c int TreeDeep(struct node *T) { int deep = 0; if (T) { int ld = TreeDeep(T->l); int rd = TreeDeep(T->r); deep = ld >= rd ? ld + 1 : rd + 1; } return deep; } ``` 上述代码片段展示了如何利用递归来解一般二叉树(包括完全二叉树)的深度[^2]。通过比较左右子树的深度并取较大者加一即可得到当前节点所在树的深度。 另外一种更高效的方法适用于完全二叉树场景下快速获取其深度。这种方法依赖于断向左和右遍历直到叶子节点为止,并记录路径长度作为最终结果的一部分[^4]: ```javascript var countNodes = function(root) { if (root == null) { return 0; } let leftNode = root.left; let rightNode = root.right; let leftDepth = 0; let rightDepth = 0; while (leftNode != null) { leftNode = leftNode.left; leftDepth++; } while (rightNode != null) { rightNode = rightNode.right; rightDepth++; } if (leftDepth === rightDepth) { return Math.pow(2, rightDepth + 1) - 1 ; } let leftNum = countNodes(root.left); let rightNum = countNodes(root.right); return leftNum + rightNum + 1 ; }; ``` 以上JavaScript版本实现了针对完全二叉树特性的优化策略,在某些情况下能够显著减少必要的递归调用次数从而提升性能表现[^4]。
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