找零问题

问题描述：

有n种面值的货币，给定一个钱的数目x，要求用最少的货币数目表示，相同面值的货币可以多次出现。

问题分析：

该问题看似像贪心：先选用面值大的货币，再选用面值小的货币。实际并不具备贪心选择的性质使用贪心不能确保得到最优解。

定义：

f(x)   找零x所需要的最少的货币数目

a[n]  n种货币面值

推导：

初始值：f(0) = 0;

f(x) =  min {  f(x -  a[i])  }  + 1    任意i 使得 x - a[i] >=0

子问题的数目有货币的种类n决定，最优解就是最小的子问题的解加1。 

for (i = 1; i <= x; i++)
{
   for (f[i] = INT_MAX, j = 0; j < n; j++)
   {
        if (x - a[i] >= 0)
        { 
          if ( f(x - a[i]) <  f[i] )
               f[i] =  f(x - a[i]);
        }
   }
}

问题描述：

有n种面值货币，给定一个钱的数目x，求总共有多少种找零方法？

问题分析：

定义：

g(x)   找零x总共的方法

a[n]  n种面值

推导：

初始值：g(0) = 0;

g(x) = sum { g(x - a[i])  + 1}    任意i 使得 x - a[i] >=0