贝叶斯网与链式法则的理解

本文介绍了贝叶斯网络的基本概念及应用案例,通过一个具体的例子解释了如何利用贝叶斯网络进行概率推断,包括条件概率分布、独立性判断等核心内容。

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定义

首先给出贝叶斯网络的定义:贝叶斯网络是一个有向无环图(DAG: Direct Acyclic Graph),图的节点表示随机变量X1, X2, …
图中每个节点的条件概率分布(CPD: conditional probability distribution)为

P(Xi|ParG(Xi)))=P(Xi|X1,X2,...,Xn)
  • 其中ParG(Xi)就表示除了Xi以外的所有节点。公式中的逗号表示“与”的关系。

是不是不太好理解?不用担心,下面用实例告诉你怎么理解个定义和公式。

一个活生生的贝叶斯网络例子

下图中的有向无环图就是一个贝叶斯网络。

这里写图片描述

图中一共有5个随机变量:

  • Difficulty:表示一门课程的难度
    • d0表示简单,d1表示难
  • Intelligence:表示一个学生的智商
    • i0表示智商一般,i1表示智商很高
  • Grade:某门课程考试的成绩
    • g1(A), g2(B), g3(C)分别表示成绩为A,B,C(A表示成绩最好)
  • SAT:SAT考试成绩
    • s0表示低分,s1表示高分
  • Letter:获得推荐信
    • l0表示获得一般的推荐信,l1表示获得很好的推荐信

从这个图中,我们可以看出

  • (1) 某门课程考试成绩G,只与课程的难度D和学生的智商I有关系,即

P(G|Par(G))=P(G|D,I,S,L)=P(G|D,I)

由这个结论,可以将贝叶斯网的链式法则简化如下:

P(I,D,G,S,L)=P(I)P(D)P(G|I,D)P(S|I)P(L|G)
  • (2) P(g1(A)|i1,d0)=0.9说明,智商很好(i1)的学生,在课程难度很低(d0)的情况下,该门课程的考试成绩得A(g1(A))的概率较高(0.9)。

  • (3) 聪明的学生(i1),在一门简单课程(d0)的考试中取得B(g2(B)),还在SAT考试中取得高分(s1),并且获得一般推荐信(l0)的概率,用下式表示

P(i1,d0,g2(B),s1,l0)=P(i1)P(d0)P(g2(B)|i1,d0)P(s1|i1)P(l0|g2(B))
  • (4) 从图中可以看出,D与S是相互独立的事件,即P(D|S)=P(D)。表示为DS

理解了这四个点,也就知道贝叶斯网络能表示的内容了。

参考

  • 概率图模型:原理与技术。作者:Daphne Koller
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