漫步数学分析三十四——链式法则

求导中最重要的一个方法是链式法则，例如为了求$(x^3+3)^6$的导数，我们令$y=x^3+3$，首先求$y^6$的导数，得到$6y^5$，然后乘以$x^3+3$的导数得到最终的答案$6(x^3+3)^53x^2$，对多变量函数来说存在同样的处理过程。例如如果$u,v,f$是两个变量的实值函数，那么

$$\frac{\partial}{\partial x}f(u(x,y),v(x,y))=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

接下来我们给出一般的理论

$\textbf{定理5}$ 令$f:A\to R^m$在开集$A\subset R^n$上是可微的，$g:B\to R^p$在开集$B\subset R^m$上是可微的，假设$f(A)\subset B$，那么复合函数(composite)$g\circ f$ 在$A$上是可微的且$D(g\circ f)(x_0)=Dg(f(x_0))\circ Df(x_0)$。

注意这个公式逻辑上是成立的，因为$Df(x_0):R^n\to R^m,Dg(f(x_0)):R^m\to R^p$，所以他们的复合是有定义的。

回顾一下两个矩阵的乘积对应于他们所表示线性变换的复合，从而根据定理5我们得出下面的事实：$g\circ f$在$x=(x_1,\ldots,x_n)$处的雅克比矩阵是$f$在$x$处的雅克比矩阵与$f$在$f(x)$处的雅克比矩阵的乘积，那么如果$h=g\circ f,y=f(x)$，可得

$$Dh(x)= \begin{pmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial y_1}&\ldots&\frac{\partial g_1}{\partial y_m}\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \frac{\partial g_p}{\partial y_1}&\ldots&\frac{\partial g_p}{\partial y_m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\ldots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}&\ldots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

其中$\partial g_i/\partial y_j$是$y=f(x),\partial f_i/\partial x_j$在$x$处求的值，写出来就是

$$\frac{\partial h_1}{\partial x_1}=\sum_{j=1}^m\frac{\partial g_1}{\partial y_j}\frac{\partial f_j}{\partial x_1}$$

当我们改变变量的话会发生下面的情况，例如假设$f(x,y)$是一个实值函数，令$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，其中$r,\theta$(极坐标)是新变量，那么我们得到下面的公式

$$h(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)$$

从而

$$\frac{\partial h}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta$$

且

$$\frac{\partial h}{\partial\theta}=-\frac{\partial f}{\partial x}r\sin\theta+\frac{\partial f}{\partial y}r\cos\theta$$

对于球坐标$(r,\varphi,\theta)$可以推出类似的公式，其中$x=r\cos\theta\sin\varphi,y=r\cos\theta\sin\varphi,z=r\cos\varphi$(我们会在后续文章中详细讨论球坐标)。

链式法则也称为复合函数定理，因为它告诉我们如何对复合函数求导。

另一种解释可能会更好理解。假设我们有函数$u(x,y),v(x,y),w(x,y),f(u,v,w)$并且他们构成函数$h(x,y)=f(u(x,y),v(x,y),w(x,y))$，那么根据定理5可得

$$\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}$$

粗略来说，我们可以从下面的公式看出上面的结论，

$$\begin{align*} &\frac{[h(x+\Delta x,y)-h(x,y)]}{\Delta x}\\ &=\frac{[f(u(x+\Delta x,y),v(x+\Delta x,y),w(x+\Delta x,y))-f(u(x,y),v(x+\Delta x,y),w(x+\Delta x,y))]}{\Delta x}\\ &+\frac{[f(u(x,y),v(x+\Delta x,y),w(x+\Delta y,y))-f(u(x,y),v(x,y),w(x+\Delta x,y))]}{\Delta x}\\ &+\frac{[f(u(x,y),v(x,y),w(x+\Delta x,y))-f(u(x,y),v(x,y),w(x,y))]}{\Delta x} \end{align*}$$

接下来它近似于(利用$f(u+\Delta u,v,w)-f(u,v,w)\approx\Delta u\partial f/\partial u$)

$$\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\Delta u}{\Delta x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\Delta v}{\Delta x}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\Delta w}{\Delta x}$$

所以令$\Delta x\to 0$得出所要的公式。

$\textbf{例1：}$对函数$f(u,v,w)=u^2v+wv^2,u=xy,v=\sin x,w=e^x$验证链式法则。

$\textbf{解：}$这里$h(x,y)=f(u(x,y),v(x,y),w(x,y))$为

$$h(x,y)=x^2y^2\sin x+e^x\sin^2x$$

所以直接可得

$$\frac{\partial h}{\partial x}=2xy^2\sin x+x^2y^2\cos x+e^x\sin^2x+e^x2\sin x\cos x$$

另一方面

$$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x} &=2uv\frac{\partial u}{\partial x}+u^2\frac{\partial v}{\partial x}+2wv\frac{\partial v}{\partial x}+v^2\frac{\partial w}{\partial x}\\ &=2xy^2\sin x+x^2y^2\cos x+2e^x\sin x\cos x\\ &+e^x\sin^2x \end{align*}$$

与上面的结果一样，对于$\partial h/\partial y$来说同样可以得出他们是相同的。

$\textbf{例2：}$令$f:R\to R,F:R^2\to R$为$F(x,y)=f(xy)$，验证

$$x\frac{\partial F}{\partial x}=y\frac{\partial F}{\partial y}$$

$\textbf{解：}$根据链式法则

$$\frac{\partial F}{\partial x}=f^\prime(xy)y$$

且

$$\frac{\partial F}{\partial y}=f^\prime(xy)x$$

得出所要的结论。