hdu5015 233 Matrix 矩阵快速幂

本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定类型问题的方法。通过定义矩阵结构和运算操作,实现高效的指数级计算,并展示了如何应用于具体实例中。

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      按列递推,每次转移乘上一个矩阵,推导出的矩阵是


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#  Author:Erich
#  FileName:
=============================================================================*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#define lson id<<1,l,m
#define rson id<<1|1,m+1,r

using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=1ll<<60;
const double PI=acos(-1.0);
int n,m;
const int N=15;
const int mod=10000007;
struct Mat
{
	ll d[N][N];
};
void Unit(Mat &a)
{
	memset(a.d,0,sizeof a.d);
	for (int i=0; i<N; i++)
		a.d[i][i]=1;
}
Mat operator*(Mat a,Mat b)
{
	Mat c;
	memset(c.d,0,sizeof c.d);
	for (int i=0; i<N; i++)
		for (int j=0; j<N; j++)
			for (int k=0; k<N; k++)
				c.d[i][j]+=a.d[i][k]*b.d[k][j],c.d[i][j]%=mod;
	return c;
}
Mat pow_mod(Mat a,int x)
{
	Mat c;
	Unit(c);
	while(x)
	{
		if (x&1) c=c*a;
		a=a*a;
		x>>=1;
	}
	return c;
}
Mat a;
int x;
int main()
{
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	while(~scanf("%d%d",&n,&x))
	{
		memset(a.d,0,sizeof a.d);
		a.d[0][0]=233;
		for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a.d[0][i]);
		a.d[0][n+1]=3;
		Mat b;
		memset(b.d,0,sizeof b.d);
		for (int i=1; i<=n; i++)
			for (int j=0; j<=i; j++)
				b.d[j][i]=1;

		b.d[n+1][0]=b.d[n+1][n+1]=1;
		b.d[0][0]=10;
		Mat c=pow_mod(b,x);
		a=a*c;
		printf("%I64d\n",a.d[0][n]);
	}


	return 0;
}



 

### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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