6、线性分析中的矩阵理论详解

线性分析中的矩阵理论详解

1. 线性分析概述

线性分析有着广泛的应用，涵盖线性系统的求解与最小二乘近似、数据降维、图像/视频压缩，以及各向异性扩散和压缩感知等领域。其研究内容丰富，包括矩阵分析、线性变换、特征值与特征向量、谱理论等。

2. 矩阵分析

2.1 矩阵乘法

设 $A \in C^{m,n}$ 且 $B \in C^{n,p}$，它们的乘积 $AB \in C^{m,p}$ 定义为：
$AB =
\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_{11} & \cdots & b_{1p} \
\vdots & \ddots & \vdots \
b_{n1} & \cdots & b_{np}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
c_{11} & \cdots & c_{1p} \
\vdots & \ddots & \vdots \
c_{m1} & \cdots & c_{mp}
\end{bmatrix} = C$，
其中 $c_{jk} = \sum_{\ell=1}^{n} a_{j\e