38、快速确定性算法计算所有顶点的离心率

快速确定性算法计算所有顶点的离心率

在图论的研究中，计算图中顶点的离心率是一个重要的问题。本文将介绍一些用于计算Helly图中所有顶点离心率的快速确定性算法，这些算法在时间复杂度上有较好的表现，并且利用了Helly图的一些特殊性质。

1. Helly图的基本性质

1.1 相关定义与定理

设 $G=(V, E)$ 是一个图，对于任意集合 $M \subseteq V$，有以下两个重要的性质：
- $2rad_M(G) - 1 \leq diam_M(G) \leq 2rad_M(G)$
- $rad_M(G) = \lfloor\frac{diam_M(G) + 1}{2}\rfloor$

这里，$rad_M(G)$ 表示以集合 $M$ 为参考的图的半径，$diam_M(G)$ 表示以集合 $M$ 为参考的图的直径。

1.2 Helly性质的推论

对于图 $G=(V, E)$，所有球 ${N^r_G[v] : v \in V, r \in N}$ 具有Helly性质，当且仅当对于每个自然数 $k$，$k$-邻域 ${N^k_G[v] : v \in V}$ 具有Helly性质。这意味着等半径球的Helly性质可以推出变半径球的Helly性质。

1.3 图的其他参数

• $\delta(G)$：最小的半整数 $\delta \geq 0$，使得 $G$ 是 $\delta$-双曲的。
• $\gamma(G)$：最大的整数 $\gamma \geq 0$，使得 $G$ 有一个 $(\gamma \times \gamma)$