43、路径与循环乘积图的容错哈密顿性及毛虫图生成算法

路径与循环乘积图的容错哈密顿性及毛虫图生成算法

1. 路径与循环乘积图的容错哈密顿性

在研究路径与循环乘积图（$P_m × C_n$）的容错哈密顿性时，我们考虑了不同的情况。

1.1 特殊情况分析

• 情况2 ：当$ef ∈G⟨R(1)⟩$且$e′f ∉G⟨R(1)⟩$时，不妨设$ef = (v_1^n, v_1^1)$。假设$(v_1^1, v_2^1)$和$(v_1^n, v_2^n)$均无故障，此时可以构造哈密顿循环$C = (v_1^1, v_1^2, ···, v_1^n, P ′)$，其中$P ′$是$G⟨R(2, m)⟩$中$v_2^n$和$v_2^1$之间的哈密顿路径。
• 情况3 ：当$ef, e′f ∉G⟨R(1)⟩$时，又分为以下子情况：
  • 情况3.1 ：若存在连接$R(1)$和$R(2)$中顶点的故障列边，由于故障边数$fe = 2$且$n ≥6$，存在$i$使得$(v_1^i, v_2^i)$和$(v_1^{i + 1}, v_2^{i + 1})$均无故障。此时哈密顿循环$C = (H[v_1^i, v_1^{i + 1}|R(1)], P ′)$，其中$P ′$是$G⟨R(2, m)⟩$中$v_2^{i + 1}$和$v_2^i$之间的哈密顿路径。
  • 情况3.2 ：若不存在连接$R(1)$和$R(2)$中顶点的故障列边：
    • 若$G⟨R(2)⟩$中存在故障边，不妨设$ef =