[BZOJ3571][Hnoi2014]画框（最小乘积匹配裸题）

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#最小乘积最大匹配

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本文介绍了一种基于最大匹配原理的优化算法，通过构建点(x,y)来表示匹配方案，并利用KM算法和费用流方法找到最优解。算法通过不断寻找下凸壳上的关键点并进行分治来提高效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

与最小乘积生成树相似。
把一种可行匹配看作一个点 $(x,y)$ ， $x$ 表示该匹配方案中所有边的 $A$ 之和， $y$ 表示该匹配方案中所有边的 $B$ 之和。
显然，最优解一定在所有点的下凸壳上。
由 $A_{i,j},B_{i,j}\leq 200$ 得到，虽然点数（匹配方案数）是 $n!$ 的，但下凸壳上的点数是有限的。
和最小乘积生成树一样，先用 KM / 费用流找到一个横坐标最小的点 $A(ax,ay)$ ，一个纵坐标最小的点 $B(bx,by)$ 。则最优解一定是下凸壳上 $A,B$ 两点之间的所有点。
一样用分治的算法。即找到一个下凸壳上的点 $C$ ，最大化 $C$ 到 $AB$ 的距离。
也就是最大化 $\vec{AC}\times\vec{AB}$ 的值。
考虑暴力一点，直接把叉积的式子拆开：

(c x - a x) \times (b y - a y) - (c y - a y) \times (b x - a x)

$(cx-ax)\times(by-ay)-(cy-ay)\times(bx-ax)$

c x \times b y - c x \times a y - a x \times b y + a x \times a y - c y \times b x + c y \times a x + a y \times b x - a y \times a x

$cx\times by-cx\times ay-ax\times by+ax\times ay-cy\times bx+cy\times ax+ay\times bx-ay\times ax$

c x \times (b y - a y) + c y \times (a x - b x) + a x \times (a y - b y) + a y \times (b x - a x)

$cx\times(by-ay)+cy\times(ax-bx)+ax\times(ay-by)+ay\times(bx-ax)$

ax×(ay−by)+ay×(bx−ax)ax×(ay−by)+ay×(bx−ax) $ax\times(ay-by)+ay\times(bx-ax)$ 是和

CC $C$ 无关的东西，可以忽略。
所以就是要使

c x \times (b y - a y) + c y \times (a x - b x)

$cx\times(by-ay)+cy\times(ax-bx)$ 最大化。
于是可以通过 KM / 费用流找到点

CC $C$ 。
然后往

A C

$AC$ 和

CBCB $CB$ 递归下去，直到找不到一个在

ABAB $AB$ 左下角的点

CC 为止。
代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 75, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, a[N][N], b[N][N], val[N][N], tox[N], toy[N], ex[N], ey[N],
mind, orz[N];
bool visx[N], visy[N];
bool dfs(int u) {
    int v; visx[u] = 1; For (v, 1, n) {
        if (visy[v]) continue; int tmp = ex[u] + ey[v] - val[u][v];
        if (tmp == 0) {
            visy[v] = 1; if (!toy[v] || dfs(toy[v])) {
                toy[v] = u; tox[u] = v; return 1;
            }
        }
        else orz[v] = min(orz[v], tmp);
    }
    return 0;
}
void KM() {
    int i, j; For (i, 1, n) tox[i] = toy[i] = 0;
    For (i, 1, n) {
        ex[i] = val[i][1]; ey[i] = 0;
        For (j, 2, n) ex[i] = max(ex[i], val[i][j]);
    }
    For (i, 1, n) {
        For (j, 1, n) orz[j] = INF;
        while (1) {
            For (j, 1, n) visx[j] = visy[j] = 0;
            mind = INF; if (dfs(i)) break;
            For (j, 1, n) if (!visy[j]) mind = min(mind, orz[j]);
            For (j, 1, n) {
                if (visx[j]) ex[j] -= mind;
                if (visy[j]) ey[j] += mind;
            }
        }
    }
}
int solve(int ax, int ay, int bx, int by) {
    int i, j, cx = 0, cy = 0; For (i, 1, n) For (j, 1, n)
        val[i][j] = a[i][j] * (by - ay) + b[i][j] * (ax - bx); KM();
    For (i, 1, n) cx += a[i][tox[i]], cy += b[i][tox[i]];
    if ((ax == cx && ay == cy) || (bx == cx && by == cy))
        return min(ax * ay, bx * by);
    return min(solve(ax, ay, cx, cy), solve(cx, cy, bx, by));
}
void work() {
    int i, j, ax = 0, ay = 0, bx = 0, by = 0; n = read();
    For (i, 1, n) For (j, 1, n) a[i][j] = read();
    For (i, 1, n) For (j, 1, n) b[i][j] = read();
    For (i, 1, n) For (j, 1, n) val[i][j] = -a[i][j]; KM();
    For (i, 1, n) ax += a[i][tox[i]], ay += b[i][tox[i]];
    For (i, 1, n) For (j, 1, n) val[i][j] = -b[i][j]; KM();
    For (i, 1, n) bx += a[i][tox[i]], by += b[i][tox[i]];
    printf("%d\n", solve(ax, ay, bx, by));
}
int main() {
    int T = read(); while (T--) work();
    return 0;
}