数学推导与算法优化-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/LELElele01/article/details/102746455

本文深入探讨了一种数学推导方法，通过定义差分数组并利用数学公式简化复杂问题，实现了算法的优化。文章详细解释了如何通过枚举和求和操作减少计算复杂度，给出了一段C++代码实现，展示了理论到实践的转化过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这题没有信息思想，其实就是数学推式子
——————————————————————————————————————
$定义差分数组a_i$
$∑a1=1m∑a2=1m.......∑ak−1=1m(n−∑i=1k−1)=mk−1n−∑a1=1m......∑ak−1=1m∑i=1k−1a[i]\sum _{{a_1}=1}^m\sum _{a_2=1}^m .......\sum _{a_{k-1}=1}^m(n-\sum _{i=1}^{k-1})=m^{k-1}n-\sum_{a_{1}=1}^m......\sum_{a_{k-1}=1}^{m}\sum_{i=1}^{k-1}a[i]$

因为后一个式子 $∑a1=1m......∑ak−1=1m∑i=1k−1a[i]\sum_{a_{1}=1}^m......\sum_{a_{k-1}=1}^{m}\sum_{i=1}^{k-1}a[i]$ 的意义是所有可能的 $a_i$ 值求和，总共有 $k-1）*m^{k-1}个数贡献答案$ ，因为枚举每个 $a_i$ 的次数相同，所以这个式子可以装化为 $(k−1)∗mk−1∗∑i=1mi(k-1)*m^{k-1}* \sum_{i=1}^{m}i$

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod,n,k,m;
ll ksm(ll x,ll pow){
	if(pow==0) return 1; 
	ll ans=1%mod,res=x%mod;
	while(pow){
		if(pow&1) ans=ans*res%mod;
		res=res*res%mod;
	    pow>>=1;
	}
	return ans%mod;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&mod);
	if(k==1){
		printf("%lld",n%mod);
		return 0;
	}
	n%=mod;// very important 不取余会爆精度
	ll tmp=ksm(m,k-2);
	ll ans=((m*n%mod-(k-1)%mod*((((m+1)*m)/2)%mod))%mod)%mod;
	if(ans<0) ans+=mod;
	printf("%lld",ans*tmp%mod); 
}

HNOI(数列)