[BZOJ4011][HNOI2015]落忆枫音（拓扑排序+DP）

最新推荐文章于 2019-10-27 22:44:28 发布

xyz32768

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分类专栏： BZOJ、UOJ、LOJ 文章标签：拓扑排序 DP

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本文解析了HNOI2015中的一道关于动态规划的题目，详细介绍了在有环和无环的情况下如何计算生成树的方案数。通过定义状态和使用拓扑排序进行转移，最终给出了代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

~~HNOI 2015 这是有多喜欢 dp ？六道题三道DP……~~
先考虑没有环的情况，设 $d_i$ 为 $i$ 的入度，那么构造一个以 $1$ 为根的生成树，就相当于为除 $1$ 之外的每个点选一个 father ，所以方案数为：

\prod_{i = 2}^{n} d_{i}

$\prod_{i=2}^nd_i$
把上式即为

dansdans $dans$ 。
然后考虑在有环时，如何去除不合法（形成环）的方案数。
首先，如果

y=1y=1 $y=1$ ，那么所有的情况都合法。
否则

xx $x$ 和

y

$y$ 之间形成环的条件显然为：
存在一条从

yy $y$ 到

x

$x$ 的路径，并且

yy $y$ 的 father 为

x

$x$ 。
而如果已经确定了这条路径，那么这种情况下不合法的方案数为：

\sum i = 2 n d i [i 不 在 生 成 树 中 y 到 x 的 路 径 上]

$\sum_{i=2}^nd_i[i不在生成树中y到x的路径上]$
考虑设

rp(T)rp(T) $rp(T)$ （

TT $T$ 是一条的路径）：

r p (T) = \sum_{i = 2}^{n} d_{i} [i 不 在 路 径 T 上]

$rp(T)=\sum_{i=2}^nd_i[i不在路径T上]$
定义状态

f[u]f[u] $f[u]$ 表示

∑Trp(T)[T是一条从y到u的路径]∑Trp(T)[T是一条从y到u的路径] $\sum_{T}rp(T)[T是一条从y到u的路径]$
边界：

f [y] = d a n s \times d - 1 y

$f[y]=dans\times d_y^{-1}$
利用拓扑排序进行转移，对于每一条边（不包括

<x,y><x,y>）：

f [v] + = f [u] \times d - 1 v

$f[v]+=f[u]\times d_v^{-1}$
（

−1−1 $^{-1}$ 为乘法逆元）
答案就比较显然了：

d a n s - f [x]

$dans-f[x]$
~~真不知道出题人把题意搞那么长有什么用意~~
代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Edge(u) for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e])
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 1e5 + 5, M = 2e5 + 5, PYZ = 1e9 + 7;
int n, ecnt, d[N], nxt[M], adj[N], go[M], inv[N], cnt[N];
bool vis[N];
void add_edge(int u, int v) {
    nxt[++ecnt] = adj[u]; adj[u] = ecnt; go[ecnt] = v;
}
int qpow(int a, int b) {
    int res = 1; while (b)
        b & 1 ? res = 1ll * res * a % PYZ : 0, a = 1ll * a * a % PYZ, b >>= 1;
    return res;
}
void dfs(int u) {
    vis[u] = 1; Edge(u) if (!vis[v = go[e]]) dfs(v);
}
int m, X, Y, sum = 1, H, T, que[N], f[N];
int main() {
    int i, x, y; n = read(); m = read(); X = read(); d[Y = read()]++;
    For (i, 1, m) x = read(), y = read(), add_edge(x, y), d[y]++;
    For (i, 2, n) sum = 1ll * sum * d[i] % PYZ; d[1] = 1;
    For (i, 1, n) inv[i] = qpow(d[i], PYZ - 2);
    H = 0; f[que[T = 1] = Y] = 1ll * sum * inv[Y] % PYZ;
    dfs(Y); For (i, 1, n) Edge(i)
        if (vis[i] && vis[v = go[e]]) cnt[v]++;
    while (H < T) {
        int u = que[++H]; Edge(u) {
            if (!vis[v = go[e]]) continue;
            if (!(--cnt[v])) que[++T] = v;
            f[v] = (f[v] + 1ll * f[u] * inv[v] % PYZ) % PYZ;
        }
    }
    if (Y == 1) cout << sum << endl;
    else cout << (sum - f[X] + PYZ) % PYZ << endl;
    return 0;
}