[BZOJ4568][Scoi2016]幸运数字（线性基+倍增）

最新推荐文章于 2019-01-14 21:34:26 发布

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#线性基 #倍增

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本文介绍了一种结合倍增算法与线性基的数据结构方法，用于解决路径上的最大异或和问题。通过预处理节点间的跳跃关系及线性基，实现高效查询。适用于竞赛编程中的树形结构问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

看到最大异或和，想到线性基。
线性基参考链接1：http://blog.youkuaiyun.com/qaq__qaq/article/details/53812883
线性基参考链接2：https://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/5869991.html
考虑使用倍增算法：
$f[u][i]$ 表示以节点 $u$ 为出发点往上走 $2^i-1$ 步，算上 $u$ 总共 $2^i$ 个点组成的线性基，
也就是把 $f[u][i-1]$ 和 $f[fa[u][i-1]][i-1]$ 两个线性基合并。 $fa[u][i]$ 表示点 $u$ 向上跳 $2^i$ 步到达的节点。
询问路径的最大异或和时，可以在求LCA的过程中，把路径拆成不超过 $O(\log n)$ 个 $f[...][...]$ ，把这 $O(\log n)$ 个线性基合并后查询最大异或和就是答案。
设线性基的大小（位数）为 $K$ ，那么一次合并的代价是 $O(K^2)$ ，计算一个 $f[...][...]$ 的代价也是 $O(K^2)$ ，因此预处理复杂度为 $O(nK^2\log n)$ 。
一次询问中需要 $O(\log n)$ 次合并操作，因此总复杂度 $O((n+q)K^2\log n)$ 。
代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
typedef long long ll;
const int N = 2e4 + 5, M = 4e4 + 5, L = 66, LogN = 17;
int n, q, ecnt, nxt[M], adj[N], go[M], dep[N], fa[N][LogN];
ll a[N];
struct cyx {
    ll orz[L];
    inline void init() {
        int i; for (i = 61; i; i--) orz[i] = -1;
    }
    inline void ins(ll x) {
        int i; for (i = 61; i; i--) {
            if (!((x >> i - 1) & 1)) continue;
            if (orz[i] == -1) return (void) (orz[i] = x);
            else x ^= orz[i];
        }
    }
    inline ll max_xor() {
        int i; ll ans = 0; for (i = 61; i; i--)
            if ((ans ^ orz[i]) > ans) ans ^= orz[i];
        return ans;
    }
} dalao[N][LogN];
inline cyx mer(cyx a, cyx b) {
    int i; for (i = 61; i; i--)
        a.ins(b.orz[i]);
    return a;
}
void add_edge(int u, int v) {
    nxt[++ecnt] = adj[u]; go[adj[u] = ecnt] = v;
    nxt[++ecnt] = adj[v]; go[adj[v] = ecnt] = u;
}
void dfs(int u, int fu) {
    int i; dep[u] = dep[fa[u][0] = fu] + 1;
    dalao[u][0].init(); dalao[u][0].ins(a[u]);
    for (i = 0; i <= 14; i++)
        fa[u][i + 1] = fa[fa[u][i]][i],
        dalao[u][i + 1] = mer(dalao[u][i], dalao[fa[u][i]][i]);
    for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e])
        if ((v = go[e]) != fu) dfs(v, u);
}
ll lca(int u, int v) {
    int i; cyx ans; if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    ans.init(); for (i = 15; i >= 0; i--) {
        if (dep[fa[u][i]] >= dep[v]) ans = mer(ans, dalao[u][i]), u = fa[u][i];
        if (u == v) return ans = mer(ans, dalao[u][0]), ans.max_xor();
    }
    for (i = 15; i >= 0; i--)
        if (fa[u][i] != fa[v][i])
            ans = mer(ans, dalao[u][i]), ans = mer(ans, dalao[v][i]),
            u = fa[u][i], v = fa[v][i];
    ans = mer(ans, dalao[u][1]); ans = mer(ans, dalao[v][1]);
    return ans.max_xor();
}
int main() {
    int i, x, y; n = read(); q = read();
    for (i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
    for (i = 1; i < n; i++) x = read(), y = read(), add_edge(x, y);
    dfs(1, 0); while (q--)
        x = read(), y = read(), printf("%lld\n", lca(x, y));
    return 0;
}