[BZOJ2298][HAOI2011]problem a（DP）

最新推荐文章于 2023-06-20 17:59:51 发布

xyz32768

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分类专栏： BZOJ、UOJ、LOJ 文章标签： dp

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本文介绍了一种解决特定类型比赛排名问题的方法，通过转换条件，将问题转化为区间DP问题，并给出了具体的实现思路与代码。文章详细解释了如何判断选手陈述的真实性，并通过DP算法求解最多有多少人说真话。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这里把第 $i$ 个人的名次，定义为分数严格高于第 $i$ 个人的人数加 $1$ 。
把条件进行转化，可以得到「 $a_i$ 个人分数比我高， $b_i$ 个人分数比我低」实际上就是「我是第 $a_i+1$ 名，算上我一共有 $n-a_i-b_i$ 个人和我分数相同」。这里设 $l_i=a_i+1$ ， $r_i=n-b_i$ 。意义是将分数从大到小排序之后，与第 $i$ 个人分数相同（包括第 $i$ 个人）的区间是 $[l_i,r_i]$ 。
先去掉一些必假的话。
1、如果 $l_i>r_i$ ，那么第 $i$ 个人说的话必假。
2、如果 $l_i$ 和 $r_i$ 都相等的人出现了超过 $r_i-l_i+1$ 个，那么最多只有其中的 $r_i-l_i+1$ 个人说了真话，超出 $r_i-l_i+1$ 部分的人说的话必假。
判断第 $2$ 个条件，可以按照 $l$ 为第一关键字， $r$ 为第二关键字从小到大排序来判断。去掉所有必假的话之后，把 $l$ 和 $r$ 都相等的人合并成一个区间（左右端点不变），并给区间定义一个价值，即为合并之前满足 $l_i$ 等于该区间左端点且 $r_i$ 等于该区间右端点的人数。
这样，求最多有多少人说真话，就变成了这一个问题： $m$ 个区间，每个区间为 $[L_i,R_i]$ ，价值为 $V_i$ ，从中选出若干个没有交集的区间，求选出区间的最大价值和。
这样就可以DP了。先把区间按 $R_i$ 排序，设 $f[i]$ 为到第 $i$ 个区间的最优解。
转移就是先二分查找当 $k\in[1,i-1]$ 时满足 $R_k<L_i$ 的最大的 $k$ 值，那么，转移方程就是：
$f[i]=\max(f[i-1],f[k]+V_i)$ 。
最后答案就是 $n-f[m]$ 。
代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 1e5 + 5;
int n, tn, f[N];
struct cyx {
    int l, r, v;
} a[N], b[N];
bool comp1(cyx a, cyx b) {
    if (a.l != b.l) return a.l < b.l;
    return a.r < b.r;
}
bool comp2(cyx a, cyx b) {
    if (a.r != b.r) return a.r < b.r;
    return a.l < b.l;
}
int findx(int l, int r, int val) {
    while (l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (a[mid].r < val) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    return r;
}
int main() {
    int i, x, y, tmpn; tmpn = read();
    for (i = 1; i <= tmpn; i++) a[i].l = read() + 1, a[i].r = tmpn - read();
    sort(a + 1, a + tmpn + 1, comp1);
    for (i = 1; i <= tmpn; i++) if (a[i].l <= a[i].r) b[++tn] = a[i];
    for (i = 1; i <= tn; i++) if (i == 1 || b[i].l != b[i - 1].l ||
        b[i].r != b[i - 1].r) a[++n] = b[i], a[n].v = 1;
        else if (a[n].v < a[n].r - a[n].l + 1) a[n].v++;
    sort(a + 1, a + n + 1, comp2); f[1] = a[1].v;
    for (i = 2; i <= n; i++) {
        int nxt = findx(1, i - 1, a[i].l);
        f[i] = max(f[i - 1], f[nxt] + a[i].v);
    }
    cout << tmpn - f[n] << endl;
    return 0;
}