【LeetCode 热题100道笔记】不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• $1<=m,n<=100$
• $题目数据保证答案小于等于2\ast 10^9$

思考

采用动态规划（DP）思想：由于机器人只能向右或向下移动，到达网格中某一位置的路径数等于到达其正上方位置的路径数加上到达其正左方位置的路径数之和。通过构建二维DP表存储每个位置的路径数，可高效计算出从起点到终点的所有不同路径。

算法过程

1. 初始化DP表：

   • 创建一个m×n的二维数组dp，其中dp[i][j]表示到达第i行第j列的路径数
   • 第一行和第一列的所有位置都只有1条路径（只能一直向右或一直向下移动）

2. 填充DP表：

   • 对于网格中其他位置(i,j)（i>0且j>0）：
     • dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]（路径数等于上方位置与左方位置的路径数之和）

3. 结果：dp[m-1][n-1]即为从左上角到右下角的不同路径总数

时空复杂度分析

• 时间复杂度：O(m×n)，需要遍历填充整个DP表
• 空间复杂度：O(m×n)，用于存储DP表（可优化至O(min(m,n))，通过滚动数组只保存当前行或列的状态）

代码

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function(m, n) {
    const dp = Array.from({length: m}, () => new Array(n).fill(0));
    dp[0][0] = 1;
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        dp[0][i] = 1;
    }

    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        }
    }

    return dp[m-1][n-1];
};