Leetcode题62、不同路径（Python题解）微软面试题

不同路径系列题包含3道：
不同路径II
不同路径III

问题：

题目来源：力扣（LeetCode）

leetcode62.不同路径

难度：中等

分析：
经典的动态规划题。动态规划与递归紧密相连，递归是自顶向下，不断压栈，压到最后一层之后开始向回计算。动态规划是直接从底层向上计算，省去了压栈的空间和重复计算的时间。递归可以用memo优化时间。

动态规划步骤：
第一步，先找状态空间！！这很重要，找到状态空间表示问题所有的状态。
第二步写递推公式！
第三步写base case！

本题递归的思路：
从起点出发，第一步有几种走法？两种：向右和向下。
两种情况是否有重合？无
两种情况是否有遗漏？无
因此总的路径数就是起点右边和下边框出发走过的路径数之和。重复此计算直到到达终点。

本题DP的思路：
递归思路可以直接搬到DP上写，递推公式为dp[i - 1][j - 1] = dp[i] [j - 1] + dp[i - 1][j], base case 是矩阵的最下端一行和最右端一列初始化为1.因为这些格子只有一个方向的走法。

此处为了自底向上思考也可以从终点开始考虑。
到达终点，有几种情况可到达？两种：左边和上边。
两种情况是否有重合？无
两种情况是否有遗漏？无
因此总的路径数就是到达终点左边和终点上边框的路径数之和。从起点开始计算到达每一个点的路径数，直到计算到终点。

递推公式为dp[i][j] = dp[i] [j - 1] + dp[i - 1][j], base case 是矩阵的最上端一行和最左端一列初始化为1.因为这些格子只有一个方向能到达。

优化
时间上无法优化，没有贪心的策略，每一步必须计算到。
空间上可以进一步优化。我们注意到，每一次计算只需要左边和上边的两个值。只要我们保证直到矩阵里的两行数据，计算就可以不断地进行下去。因此O（n*2）可以简化到O(2n)。
进一步地，我们发现在计算的时候，由于我们需要左边和上边的值来更新当前格子，如果用只用一行数据来计算，那么在未更新当前格子值之前，左边格子值是前一步已经更新的值，符合我们的需要；当前格子值是上一行的值，符合我们的需要，所以空间可以简化到O(n)。

解决方法：
1：二维DP

递推公式为dp[i][j] = dp[i] [j - 1] + dp[i - 1][j]，ba