【OD机试题解法笔记】观看文艺演出问题

题目

为了庆祝党成立100周年，某公园将举行多场文艺表演，很多演出都是同时进行，一个人只能同时观看一场演出，且不能迟到早退，由于演出分布在不同的演出场地，所以连续观看的演出最少有15分钟的时间间隔，

小明是一个狂热的文艺迷，想观看尽可能多的演出， 现给出演出时间表，请帮小明计算他最多能观看几场演出。

输入描述
第一行为一个数 N，表示演出场数

1 ≤ N ≤ 1000
接下来 N 行，每行有被空格分割的整数，第一个整数 T 表示演出的开始时间，第二个整数 L 表示演出的持续时间

T 和 L 的单位为分钟
0 ≤ T ≤ 1440
0 < L ≤ 180

输出描述
输出最多能观看的演出场数。

用例

输入	输出
2 720 120 840 120	1
2 0 60 90 60	2

思考

观看下一场演出条件是必须保证下一场演出在第一场演出结束15分钟以后开始。区间问题，每场演出有个开始时间和结束时间，先按结束时间对每场演出子区间从小到大排序，再遍历每场演出，如果当前演出开始时间大于上一场演出结束时间+15分钟，则把当前场次演出加入结果统计。

算法过程

1. 输入处理：

   • 读取演出场数 N。
   • 读取每场演出的开始时间 T 和持续时间 L，计算结束时间为 T + L。
   • 将每场演出表示为一个区间 [start, end]，存储在列表中。

2. 区间排序：

   • 将所有演出区间按照结束时间升序排列。
   • 若两个区间的结束时间相同，则按开始时间升序排列。
   • 排序的目的是优先选择结束时间早的演出，为后续演出留出更多时间。

3. 初始化计数器：

   • 初始化已选择的演出数量 count = 0。
   • 初始化上一场演出的结束时间 lastEndTime = -∞（确保第一场演出总能被选择）。

4. 遍历排序后的区间：

   • 对于每个演出区间 [start, end]：
     • 检查该演出的开始时间 start 是否大于等于 lastEndTime + 15。
     • 若是，则选择该演出：
       • count 加 1。
       • 更新 lastEndTime 为当前演出的结束时间 end。

5. 输出结果：

   • 返回 count，即最多能观看的演出场数。

算法关键点

1. 贪心策略：

   • 每次选择结束时间最早且满足时间间隔（15 分钟）的演出。
   • 这一策略能最大化后续可用时间窗口，从而选择更多演出。

2. 时间间隔处理：

   • 通过 start >= lastEndTime + 15 确保两场演出之间有足够的间隔。
   • 这一条件直接排除了时间冲突的演出。

3. 排序稳定性：

   • 结束时间相同时按开始时间排序，确保算法在边界情况下正确选择。

复杂度分析

• 时间复杂度：排序操作的时间复杂度为 \(O(N \log N)\)，遍历区间的时间复杂度为 \(O(N)\)，因此总的时间复杂度为 \(O(N \log N)\)。
• 空间复杂度：主要用于存储演出区间列表，空间复杂度为 \(O(N)\)。

参考代码

function solution() {
  const n = parseInt(readline());
  const shows = [];
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    const [T, L] = readline().split(" ").map(Number);
    shows.push({ begin: T, end: T + L });
  }

  // 按结束时间升序排序，如果结束时间相同，则按开始时间升序排序
  shows.sort((a, b) => a.end - b.end || a.begin - b.start);

  let count = 0;
  let lastEndTime = -Infinity;

  for (const show of shows) {
    if (show.begin >= lastEndTime + 15) {
      count++;
      lastEndTime = show.end;
    }
  }

  console.log(count);
}

const cases = [
  `2
720 120
840 120`,
  `2
0 60
90 60`
];
let caseIndex = 0;
let lineIndex = 0;

const readline = (function () {
  let lines = [];
  return function () {
    if (lineIndex === 0) {
      lines = cases[caseIndex]
        .trim()
        .split("\n")
        .map((line) => line.trim());
    }
    return lines[lineIndex++];
  };
})();

cases.forEach((_, i) => {
  caseIndex = i;
  lineIndex = 0;

  solution();
});