高数知识梳理——无穷小量

无穷小的应用总结

无穷小量的定义

1. 如果 $\forall ϵ$ > 0,$\exists \xi =\xi (x)$, 当$0<|x-x_0|$时，
   恒有$|f(x)|<ϵ$,
   则称函数$f(x)$为在$x\to x_0$时的无穷小量，简称无穷小。
2. 如果 $\forall ϵ$ > 0,$\exists X=X(ϵ)$,当$|x|>X$时
   恒有$|f(x)|<ϵ$,
   则称函数$f(x)$为在$x\to \infty$时的无穷小量。

【注】无穷小量不是很小很小的数，而是一个极限为0的函数或数列；在数里面只有0是无穷小量。

无穷小量的四则运算

3. 有限个无穷小量的和仍是无穷小量
   【注】：此处要强调是有限个无穷小量，如果是无限个则不成立
   $li{m}_{n\to +\infty }(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\dots +\frac{1}{n})=1$
4. 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量
5. 有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量

无穷小的应用

洛必达法则

当极限满足$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty }{\infty }$ 时（或0⋅∞0\cdot\infty