再论贝塞尔曲线

贝塞尔曲线生成方法:

一、The de Casteljau Algorithm

贝塞尔曲线 $n+1$ 个控制点 $b_0,b_1,\cdots,b_n$，$t \in [0,1]$, 那么：

$$\begin{cases} \begin{matrix} B(t) = b_0 ^n & b_i^0 = b_i \\ b_i^j = b_i^{j-1} (1-t) + b_{i+1}^{j-1} t & i=0, \cdots,n-j,\quad j=1 ,\cdots,n \end{matrix} \end{cases}$$

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1、线性曲线

2、二次曲线

3、三次曲线

4、四次曲线

5、五次曲线

6、例子

三次贝塞尔曲线的控制点为：$b_0 (1.0,1.0),b_1 (2.0,7.0),b_2 (8.0,6.0),b_3 (12.0,2.0)$，其点$B(0.25)$ 求法如下：

$b_0^1 = \frac{3}{4} ( 1.0,1.0 ) + \frac{1}{4} ( 2.0,7.0 ) = ( 1.25,2.5 )$
$b_1^1 = \frac{3}{4} ( 2.0,7.0 ) + \frac{1}{4} ( 8.0,6.0 ) = ( 3.5,6.75 )$
$b_2^1 = \frac{3}{4} ( 8.0,6.0 ) + \frac{1}{4} ( 12.0,2.0 ) = ( 9.0,5.0 )$
$b_0^2 = \frac{3}{4} ( 1.25,2.5 ) + \frac{1}{4} ( 3.5,6.75 ) = ( 1.8125,3.5625 )$
…

算法流程如下：

图形表示如下：

二、任意多项式曲线与贝塞尔曲线的转换

贝塞尔曲线展开:

$$B(t) = b_0 (1-t)^n + C^1_n (1-t)^{n-1}t + C^2_n (1-t)^{n-2} t^2 + \cdots + C^{n-1}_n (1-t)^{1} t^{n-1} + t^n = T Bez b$$

一般多项式：

$$P(t) = a_0 + a_1 t + \cdots + a_n t^n =T a$$

定义一下参数：

$$a=(a_0,a_1,\cdots,a_n)^T, \quad b=(b_0,b_1,\cdots,b_n)^T$$

$$B=(B_{0,n}(t), \cdots, B_{n,n}(t) ), \quad T=(1,t,\dots,n)$$

$$Bez = ( Bez_{i,j} ), \quad Bez^{-1} = ( Bez^{-1} _{i,j} ), \quad 0 \leq i,j \leq n$$

1、贝塞尔曲线 -> 多项式曲线

表示方法是：

$$a = Bez \cdot b$$

把贝塞尔曲线按照参数 $t$ 升幂排列，皆可以得到其对应的多项式曲线。

$$Bez_{i,j} = \begin{cases} (-1)^{i-j} C_n^i C_i^j, & if \quad i \geq j \\ 0, & otherwise \end{cases}$$

也就是：

$$a_i = \sum ^i _{j=0} (-1)^{i-j} C_n^i C_i^j b_j$$

2、多项式曲线 ->贝塞尔曲线

表示方法是：

$$b = Bez^{-1} \cdot a$$

$$Bez^(-1)_{i,j} = \begin{cases} \frac {C_i^j }{C_n^j} , & if\quad j \leq i \\ 0, & otherwise \end{cases}$$

也就是：

$$b_i = \sum ^i _{j=0} \frac {C_i^j }{C_n^j} a_j$$

3、参考

[1]:https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_hull
[2]:Duncan M. Applied Geometry for Computer Graphics and CAD. Springer, 2005.