损失函数
loss function,衡量预测值与真实值之间的误差,如平方误差函数square loss。模型训练中,希望找到一组参数,使得训练样本的平均损失最小。
优化算法
1)解析解。
2)数值解。小批量随机梯度下降,mini-batch stochastic gradient descent
- 选取⼀组模型参数的初始值,如随机选取;
- 接下来对参数进⾏多次迭代。在每次迭代中,先随机均匀采样⼀个由固定数⽬训练数据样本所组成的小批量(mini-batch)
- 然后求小批量中数据样本的平均损失有关模型参数的导数(梯度)
- 最后⽤此结果与预先设定的⼀个正数的乘积,作为模型参数在本次迭代的减小
广义线性回归


线性回归的神经网络图
线性回归是⼀个单层神经⽹络。输出层中负责计算的单元⼜叫神经元。输出层中的神经元和输⼊层中各个输⼊完全连接。

线性回归从零开始
from IPython import display
from matplotlib import pyplot as plt
from mxnet import autograd, nd
import random
##############################
## 产生数据
##############################
num_inputs = 2
num_examples = 1000
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2
features = nd.random.normal(scale=1, shape=(num_examples, num_inputs))
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += nd.random.normal(scale=0.01, shape=labels.shape)
print(features[0], labels[0])
def use_svg_display():
# ⽤⽮量图显⽰
display.set_matplotlib_formats('svg')
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
use_svg_display()
# 设置图的尺⼨
plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
set_figsize()
plt.scatter(features[:, 1].asnumpy(), labels.asnumpy(), 1); # 加分号只显⽰图
plt.show()
##############################
## 读取数据
##############################
def data_iter(batch_size, features, labels):
num_examples = len(features)
indices = list(range(num_examples))
random.shuffle(indices) # 样本的读取顺序是随机的
for i in range(0, num_examples, batch_size):
j = nd.array(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
yield features.take(j), labels.take(j) # take函数根据索引返回对应元素。注意,这里使用yield,而不是return
batch_size = 10
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
print(X, y)
break
##############################
## 初始化模型参数
##############################
w = nd.random.normal(scale=0.01, shape=(num_inputs, 1))
b = nd.zeros(shape=(1,))
w.attach_grad()
b.attach_grad()
##############################
## 定义模型
##############################
def linreg(X, w, b): # 本函数已保存在d2lzh包中⽅便以后使⽤
return nd.dot(X, w) + b
##############################
## 定义损失函数
##############################
def squared_loss(y_hat, y): # 本函数已保存在d2lzh包中⽅便以后使⽤
return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2
##############################
## 定义优化算法
##############################
def sgd(params, lr, batch_size): # 本函数已保存在d2lzh包中⽅便以后使⽤
for param in params:
param[:] = param - lr * param.grad / batch_size
##############################
## 训练模型
##############################
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss
for epoch in range(num_epochs): # 训练模型⼀共需要num_epochs个迭代周期
# 在每⼀个迭代周期中,会使⽤训练数据集中所有样本⼀次(假设样本数能够被批量⼤⼩整除)。 X和y分别是⼩批量样本的特征和标签
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
with autograd.record():
l = loss(net(X, w, b), y) # l是有关⼩批量X和y的损失
l.backward() # ⼩批量的损失对模型参数求梯度
sgd([w, b], lr, batch_size) # 使⽤⼩批量随机梯度下降迭代模型参数
train_l = loss(net(features, w, b), labels)
print('epoch %d, loss %f' % (epoch + 1, train_l.mean().asnumpy()))
print(true_w, w)
print(true_b, b)
线性回归torch实现
########################
## 生成数据集
########################
from mxnet import autograd, nd
num_inputs = 2
num_examples = 1000
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2
features = nd.random.normal(scale=1, shape=(num_examples, num_inputs))
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += nd.random.normal(scale=0.01, shape=labels.shape)
########################
## 读取数据集
########################
from mxnet.gluon import data as gdata
batch_size = 10
dataset = gdata.ArrayDataset(features, labels)
# 随机读取⼩批量
data_iter = gdata.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=True)
for X, y in data_iter:
print(X, y)
break
########################
## 定义模型
########################
from mxnet.gluon import nn
net = nn.Sequential()
net.add(nn.Dense(1))
########################
## 初始化模型参数
########################
from mxnet import init
net.initialize(init.Normal(sigma=0.01))
########################
## 定义损失函数
########################
from mxnet.gluon import loss as gloss
loss = gloss.L2Loss() # 平⽅损失⼜称L2范数损失
########################
## 定义优化算法
########################
from mxnet import gluon
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'learning_rate': 0.03})
########################
## 训练模型
########################
num_epochs = 3
for epoch in range(1, num_epochs + 1):
for X, y in data_iter:
with autograd.record():
l = loss(net(X), y)
l.backward()
trainer.step(batch_size)
l = loss(net(features), labels)
print('epoch %d, loss: %f' % (epoch, l.mean().asnumpy()))
dense = net[0]
print(true_w, dense.weight.data())
print(true_b, dense.bias.data())