30、基于整数线性规划（ILP）的分区方法评估

基于整数线性规划（ILP）的分区方法评估

1. 引言

在解决图分区问题时，整数线性规划（ILP）是一种强大的工具。本文将介绍几种基于ILP的分区方法，并通过实验评估它们在不同场景下的性能。我们将重点关注彩色组件（Colorful Components）问题，该问题在维基百科跨语言链接校正等应用中具有重要意义。

2. 基于ILP的分区方法

2.1 隐式命中集方法

隐式命中集方法通过分支限界过程求解问题。我们从一个空的约束集开始，当获得整数可行解时，在回调中查询神谕（oracle）以获取更多约束。如果生成了新的约束，则将其添加到问题中，从而削减搜索树的某些部分。对于彩色组件问题，我们为每条边 ${u, v}$ 定义一个变量 $d_{uv}$，其中 $d_{uv} = 1$ 表示边 ${u, v}$ 被删除。目标是最小化 $\sum_{e \in E} d_e$。神谕删除所有 $d_{uv} = 1$ 的边，然后查找不良路径。如果找到一条不良路径 $u_1, \ldots, u_l$，则生成路径不等式：
$$\sum_{i = 1}^{l - 1} d_{u_iu_{i + 1}} \geq 1$$
该方法的主要缺点是需要特定求解器的实现，并且一些ILP求解器（如Coin CBC 2.7或Gurobi 4.6）在不重新开始求解过程的情况下不支持添加懒约束。

2.2 团划分ILP公式

多割问题可以归结为团划分问题。在团划分问题中，顶点对被标记为相似或不相似，目标是找到一个顶点划分，使其与这些标记的一致性最大化。我们将顶点划分建模为一个簇图，即每个连通分量都是一个团的图。正式问题定义如下：