ARC086E - Smuggling Marbles(虚树，树形dp)

ARC086E - Smuggling Marbles

Solution

感觉这题和LG P3233 [HNOI2014]世界树几乎一模一样啊？！

大概就是对于每一个深度分别计算贡献，对该深度的点建出虚树，然后树形$dp$。

令$f_x$表示$x$子树中$2^{s{z}_x}$种方案中有多少可以让$x$是$1$，由此可知有$2^{s{z}_x}-f_x$种方案$x$为$0$，转移时相当于枚举其中一个子树为$1$，剩下的子树为$0$，这样才能保证$x$为$1$。

设$x$的虚树上的儿子分别为$v_1,v_2...v_k$。$$f_x=2^t\sum _{i=1}^k(\prod _{j=1}^{i-1}{f}_{v_j}^{\prime }\ast f_{v_i}\ast \prod _{j=k+1}^n{f}_{v_j}^{\prime })$$

其中$f_v^{\prime }$表示$2^{s{z}_v}-f_v$，$t$表示在$x$原树的子树中但不在虚树上的点的个数。

这一部分求一个$f_v^{\prime }$的前缀后缀积就能轻松线性时间内解决了。

时间复杂度$O(nlgn)$。

实现时依然建议把$1$放入虚树，不然最后还要乘一个$2^{sz}$的贡献。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uint;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=1e9+7;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
vector<int> e[MAXN],V[MAXN],E[MAXN];
int f[MAXN],g[MAXN],_g[MAXN],L[MAXN],R[MAXN],pw[MAXN],sz[MAXN],dep[MAXN],Log[MAXN],dfn[MAXN],stk[MAXN],fa[MAXN][20],DFN=0,top,n,mxd=0;
int upd(int x,int y) { return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; }
int quick_pow(int x,int y)
{
	int ret=1;
	for (;y;y>>=1)
	{
		if (y&1) ret=1ll*ret*x%mods;
		x=1ll*x*x%mods;
	}
	return ret;
}
int getlca(int x,int y)
{
	if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for (int i=Log[dep[x]];i>=0;i--) 
		if (dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
	if (x==y) return x;
	for (int i=Log[dep[x]];i>=0;i--)
		if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
int jump(int x,int d)
{
	for (int i=Log[dep[x]];i>=0;i--)
		if (dep[fa[x][i]]>=d) x=fa[x][i];
	return x;
}
void dfs1(int x)
{
	sz[x]=1,dfn[x]=++DFN,V[dep[x]].PB(x),upmax(mxd,dep[x]);
	for (int i=1;i<=Log[dep[x]];i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for (auto v:e[x]) dep[v]=dep[x]+1,fa[v][0]=x,dfs1(v),sz[x]+=sz[v];
}
void add(int u,int v) { E[u].PB(v); }
void build(vector<int> V)
{
	stk[top=1]=1;
	for (auto v:V)
	{
		if (v==1) continue;
		int lca=getlca(stk[top],v);
		while (top>1&&dep[stk[top-1]]>dep[lca]) add(stk[top-1],stk[top]),top--;
		if (dep[stk[top]]>dep[lca]) add(lca,stk[top--]);
		if (stk[top]!=lca) stk[++top]=lca;
		stk[++top]=v; 
	}
	while (top>1) add(stk[top-1],stk[top]),top--;
}
void solve(int x)
{
	if (!E[x].size()) { f[x]=pw[sz[x]-1]; return; }
	for (auto v:E[x]) solve(v);
	int num=E[x].size(),cnt=sz[x];
	for (int i=0;i<num;i++)
	{
		int v=E[x][i],p=jump(v,dep[x]+1);
		cnt-=sz[v],g[i+1]=f[v],_g[i+1]=upd(pw[sz[v]],mods-g[i+1]);
	}
	L[0]=R[num+1]=1,f[x]=0;
	for (int i=1;i<=num;i++) L[i]=1ll*L[i-1]*_g[i]%mods;
	for (int i=num;i>=1;i--) R[i]=1ll*R[i+1]*_g[i]%mods;
	for (int i=1;i<=num;i++) f[x]=upd(f[x],1ll*L[i-1]*R[i+1]%mods*g[i]%mods);
	f[x]=1ll*f[x]*pw[cnt]%mods;
}
void clear(int x)
{
	for (auto v:E[x]) clear(v);
	f[x]=0,E[x].clear();
}
signed main()
{
	n=read()+1,Log[1]=0,pw[0]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++) e[read()+1].PB(i),Log[i]=Log[i>>1]+1;
	for (int i=1;i<=n;i++) pw[i]=upd(pw[i-1],pw[i-1]);
	dep[0]=-1,dfs1(1);
	int ans=0;
	for (int i=0;i<=mxd;i++) build(V[i]),solve(1),ans=upd(ans,f[1]),clear(1);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}