CF1178H Stock Exchange

CF1178H Stock Exchange

题目描述

简要题意：给定$2n$个一次函数$y=a_{i}x+b_i(a,b>0)$，刚开始你有前$n$个函数各一个，在任意时刻$t$，$x$函数可以转换为$y$函数当且仅当$a_{x}t+b_x>=a_{y}t+b_y$，最后要获得$n+1...2n$的函数各一个，求完成时刻最小的前提下转换次数的最小值。

Solution

显然最后的方案需要$1...n$和$n+1...2n$形成完美匹配。
有一个重要的性质：
一定存在一个最优方案使得每一个匹配的中转点唯一，且只在$0$时刻和$t$时刻进行交换。（显然对于某一匹配$x->y$的转化方案 { x , z 1 , z 2 . . . z k , y } \{x,z_1,z_2...z_k,y\} {x,z1​,z2​...zk​,y}来说，最多只需要取$x$,$y$,和一个 { z 1 . . . z k } \{z_1...z_k\} {z1​...zk​}中斜率最大的$z_{maxa}$即可）

因此对于第一问，考虑二分答案完成时刻$t$，每一个$1..n$的函数在$0$时刻先贪心地转化为能转化的在$t$时刻最大的函数作为中转点，然后再考虑$t$时刻时能否通过这些最优中转点匹配出所有的$n+1...2n$的函数。

对于第二问，考虑费用流，把每一个点$i$拆成$i$和$i+2n$，从$S$向$1..n$连一条$(flow=1,cost=0)$的边，从$n+1...2n$向$T$连一条$(1,0)$的边，从$i$向$i+2n$连一条$(INF,0)$的边，然后对于能在$0$时刻转化的$i->j$，连一条$(INF,1)$的边,在$t$时刻也做一次这样的操作。

但是这样的边数是$O(n^2)$，超过了$16M$的空间限制。
我们发现对于$i$来说，它可以转化的点是一段按$b_i$排序的前缀，所以不需要每个$i->j$都连边了。

设排序之后的编号$i{d}_i$，新建$i+4n$的点，从$i{d}_i+4n$向$i{d}_{i-1}+4n$连一条$(INF,0)$的边，再从$i{d}_i$向$i{d}_i+4n$连一条$(INF,1)$的边。

这样一来，$i->j$就可以通过一层一层的价格下降得到了。然后对于$i+2n$的点也新建$i+6n$按上述方法连边即可。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=4405;
const int MAXM=MAXN<<6;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
queue<int> que;
ll c[MAXN],to[MAXN];
pair<ll,ll> a[MAXN];
int n,nn,vnum,edgenum=1,id0[MAXN],idt[MAXN],t,S,T;
int flow[MAXN<<2],dist[MAXN<<2],vis[MAXN<<2];
int head[MAXN<<2],pre[MAXN<<2],from[MAXN<<2];
struct enode{ int to,nxt,f,c; } e[MAXM];

int compare0(int x,int y) { return (a[x].se<a[y].se)||(a[x].se==a[y].se&&a[x].fi>a[y].fi); }
int comparet(int x,int y) { return a[x].fi*t+a[x].se<a[y].fi*t+a[y].se; }
bool check(int x)
{
	t=x;
	for (int i=1;i<=nn;i++) c[i]=a[i].fi*t+a[i].se;
	for (int i=1,k=1;i<=nn;i++)
	{
		if (c[id0[i]]>c[id0[k]]) k=i;
		to[id0[i]]=c[id0[k]];
	}
	sort(to+1,to+n+1);
	if (t==1e9)
		for (int i=1;i<=nn;i++) cout<<id0[i]<<endl;
	sort(idt+1,idt+nn+1,comparet);
	for (int i=1,now=1;i<=nn;i++) 
	{
		if (idt[i]<=n) continue;
		if (to[now]<c[idt[i]]) return 0;
		else now++;
	}
	return 1;
}
int solve1()
{
	int l=0,r=1e9;
	while (l<r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if (check(mid)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	return r;
}

void add(int u,int v,int f,int c)
{
//	cout<<u<<" "<<v<<" "<<f<<" "<<c<<endl;
	e[++edgenum]=(enode){v,head[u],f, c},head[u]=edgenum;
	e[++edgenum]=(enode){u,head[v],0,-c},head[v]=edgenum;
}
void build()  //这里把值相同的i+4n合并成了一个点,效果相同,空间压缩之后会更小一些,i+6n同理。
{
	S=nn<<1|1,T=vnum=S+1;
	for (int i=1;i<=n;i++) add(S,i,1,0);
	for (int i=n+1;i<=nn;i++) add(i+nn,T,1,0);
	for (int i=1;i<=nn;i++) add(i,i+nn,INF,0);
	
	for (int i=1;i<=nn;i++) c[i]=a[i].se;
	for (int i=1,j;i<=nn;i=j+1)
	{
		j=i,vnum++;
		while (c[id0[i]]==c[id0[j+1]]) j++;
		for (int k=i;k<=j;k++) 
			add(id0[k],vnum,INF,1),add(vnum,id0[k],INF,0);
		if (i>1) add(vnum,vnum-1,INF,0);
	}
	
	for (int i=1;i<=nn;i++) c[i]=a[i].fi*t+a[i].se;
	for (int i=1,j;i<=nn;i=j+1)
	{
		j=i,vnum++;
		while (c[idt[i]]==c[idt[j+1]]) j++;
		for (int k=i;k<=j;k++) 
			add(idt[k]+nn,vnum,INF,1),add(vnum,idt[k]+nn,INF,0);
		if (i>1) add(vnum,vnum-1,INF,0);
	}
}

int bfs()
{
	for (int i=1;i<=vnum;i++) dist[i]=INF,flow[i]=vis[i]=0;
	dist[S]=0,flow[S]=INF,vis[S]=1,que.push(S);
	while (!que.empty())
	{
		int u=que.front(); que.pop();
//		cout<<u<<":"<<dist[u]<<" "<<flow[u]<<endl;
		for (int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
		{
			int v=e[i].to,f=e[i].f,c=e[i].c;
			if (!f||dist[u]+e[i].c>=dist[v]) continue;
			pre[v]=u,from[v]=i;
			flow[v]=min(flow[u],f);
			dist[v]=dist[u]+e[i].c;
			if (!vis[v]) vis[v]=1,que.push(v);
		}
		vis[u]=0;
	}
	return flow[T];
}
int MCMF()
{
	int ans=0;
	while (bfs())
	{
		ans+=dist[T]*flow[T];
		for (int p=T;p!=S;p=pre[p])
			e[from[p]].f-=flow[T],e[from[p]^1].f+=flow[T];
	}
	return ans;
}
int main()
{
	n=read(),nn=n+n;
	for (int i=1;i<=nn;i++) a[i].fi=read(),a[i].se=read(),id0[i]=idt[i]=i;
	sort(id0+1,id0+nn+1,compare0);
	t=solve1();
	if (!check(t)) { puts("-1"); return 0; } 
	printf("%d ",t);
	sort(idt+1,idt+nn,comparet);
	
	build();
	int ans=MCMF();
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}