ARC078F - Mole and Abandoned Mine(状压DP)

最新推荐文章于 2021-09-13 21:59:16 发布

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/xmr_pursue_dreams/article/details/111839360

博客围绕ARC078F - Mole and Abandoned Mine问题展开，采用状压dp方法求解。通过将去掉边最小转化为选取边最大，把问题转化为选一条1到n的路径，路径上各点连出连通块，求最大边权和。给出了状态定义和转移方式，时间复杂度为O(3nn)，还给出代码部分。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

ARC078F - Mole and Abandoned Mine

Solution

状压 $d p$ 。

首先去掉边最小=选取边最大，答案为所有边权和减掉选取边权和，于是我们想要最大化选取的边权和。

假设我们知道最后剩下的唯一一条 $1 . . . n$ 的路径 ${v_1,v_2,v_3...v_k}(v_1=1,v_k=n)$ ，显然两两路径上的点能连边当且仅当它们相邻。

然后我们在剩下的点中连边，则会组成若干个连通块，可以发现为了保证 $1$ 到 $n$ 路径唯一，每个连通块 $S$ 最多和一个 $1$ 到 $n$ 路径上的点 $v_p$ 连边， $vp∪Sv_p\cup S$ 这个集合内的边都可以随便连，我们会把它们全选上。

于是问题就变成了选一条 $1 . . . n$ 的路径，路径上每一个点 $v_i$ 连出去一个连通块 $S_i$ ， $C=∑i=1k∑a,bda,b(a,b∈{vi}∪Si)+∑i=1k−1dvi,vi+1C=\sum_{i=1}^k\sum_{a,b}d_{a,b}(a,b\in\{v_i\}\cup S_i)+\sum_{i=1}^{k-1}d_{v_i,v_{i+1}}$ ，求 $C_{max}$ 。

令 $f_{S,j}$ 表示当前路径的末尾点是 $j$ ，当前选取了 $S$ 中的点的最大的 $C$ ，对于所有 $S$ ，预处理 $∑a,bda,b(a,b∈S)\sum_{a,b}d_{a,b}(a,b\in S)$ 。

每次可以给 $j$ 选择 $S_j$ 或者把在当前路径末尾加一个点 $k$ 。
时间复杂度 $O(3^nn)$ 。

注意给 $j$ 选择 $S_j$ 时 $j$ 与 $S_j$ 中的点有没有连边无所谓，但是路径末尾加 $k$ ， $j$ 和 $k$ 之间必须有连边。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
int d[16][16],g[1<<15],f[1<<15][15];
signed main()
{
	int n=read(),m=read(),sum=0;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x=read()-1,y=read()-1,c=read();
		d[x][y]=d[y][x]=c,sum+=c;
	}
	for (int i=1;i<1<<n;i++)
	{
		for (int j=0;j<n;j++)
			if ((i>>j)&1)
			for (int k=j+1;k<n;k++)
				if ((i>>k)&1) g[i]+=d[j][k];
	}
	for (int i=0;i<1<<n;i++)
		for (int j=0;j<n;j++) f[i][j]=-INF;
	f[1][0]=0;
	for (int i=1;i<1<<n;i++)
		for (int j=0;j<n;j++)
		if ((i>>j)&1)
		{
			for (int k=0;k<n;k++)
				if (!((i>>k)&1)&&d[j][k]) upmax(f[i|(1<<k)][k],f[i][j]+g[(1<<j)|(1<<k)]);
			int S=((1<<n)-1)^i;
			for (int k=S;k;k=(k-1)&S) upmax(f[i|k][j],f[i][j]+g[k|(1<<j)]);
		}
	printf("%d\n",sum-f[(1<<n)-1][n-1]);
	return 0;
}