Loj #6089. 小 Y 的背包计数问题

动态规划解决背包问题

最新推荐文章于 2023-11-21 12:28:31 发布

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本文介绍了如何使用动态规划解决小Y的背包计数问题。分为两部分：平方根内部分采用多重背包策略，平方根外部分转化为序列增长问题。算法复杂度为O(n√n)，通过滚动数组优化后可达到O(n)。代码实现中展示了具体的动态规划状态转移方程和计算过程。

Loj #6089. 小 Y 的背包计数问题

Solution

似乎是比较套路的东西。

我们发现对于 $i≤ni\leq \sqrt n$ 的部分是一个多重背包，而剩下的部分是一个完全背包，因此考虑分开计算之后合并答案。

part one

当 $i≤ni\leq \sqrt n$ 时，令 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 种数总和为 $j$ 的方案数，有：
$fi,j=∑k=0ifi−1,j−kif_{i,j}=\sum_{k=0}^i f_{i-1,j-ki}$
这一部分可以前缀和优化，令 $si,j=∑kfi−1,j−kis_{i,j}=\sum_kf_{i-1,j-ki}$ ，有 $s_{i,j}=s_{i,j-i}+f_{i-1,j}$ ，于是 $f_{i,j}=s_{i,j}-s_{i,j-i*i-i}$
这一部分是 $O(nn)O(n\sqrt n)$ 的。

part two

当 $\sqrt n$ 时，这一部分的方案数相当于初始有一个空序列，每次要么加进去一个 $n+1\sqrt n+1$ ，要么序列里每个数加 $1$ ，求不同序列个数，于是考虑一个特殊的 $d p$ ，令 $g_{i,j}$ 表示序列共有 $i$ 个数，总和为 $j$ 的序列个数，有： $gi,j=gi−1,j−n−1+gi,j−ig_{i,j}=g_{i-1,j-\sqrt n-1 }+g_{i,j-i}$
这一部分也是 $O(nn)O(n\sqrt n)$ 的。

part three

最后考虑合并：
$Ans=∑i=0n∑j=0nfn,i⋅gj,n−iAns=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^{\sqrt n}f_{\sqrt n,i} \cdot g_{j,n-i}$
还是 $O(nn)O(n\sqrt n)$ 的。

因此总复杂度 $O(nn)O(n\sqrt n)$ ，这边空间复杂度如果用滚动数组，并且一边算 $p a r t 2$ ，一边算 $p a r t 3$ ，可以优化至 $O (n)$ 。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=100005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
int s[2][MAXN],f[2][MAXN],g[355][MAXN];
int upd(int x,int y) { return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; }
signed main()
{
	int n=read(),sz=floor(sqrt(n));
	f[1][0]=f[1][1]=1;
	for (int i=2;i<=sz;i++) 
		for (int j=0;j<=n;j++)
		{
			s[i&1][j]=upd((j-i>=0?s[i&1][j-i]:0),f[(i^1)&1][j]);
			f[i&1][j]=upd(s[i&1][j],mods-(j-i*i-i>=0?s[i&1][j-i*i-i]:0));
		}
	g[0][0]=1;
	for (int i=1;i<=sz;i++)
		for (int j=0;j<=n;j++) g[i][j]=upd((j>=sz+1?g[i-1][j-sz-1]:0),(j>=i?g[i][j-i]:0));
	int ans=0;
	for (int i=0;i<=n;i++) 
		for (int j=0;j<=sz;j++) ans=upd(ans,1ll*f[sz&1][i]*g[j][n-i]%mods);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}