POJ 3696 The Luckiest number 欧拉定理

最新推荐文章于 2020-10-14 22:46:15 发布

csu_xiji

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分类专栏：思维数论欧拉函数欧拉降幂

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数论欧拉函数欧拉降幂

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本文探讨了一道算法题目，目标是找到最小的全由8组成的数，该数为给定数L的倍数。通过数学推导，利用欧拉定理和快速幂运算，实现了高效求解。注意避免数据溢出问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

https://vjudge.net/problem/POJ-3696
在这里插入图片描述题目大意：给一个数 $L$ ，让你找到最小的一个数 $x$ 使得 $x$ 是 $L$ 的倍数且它的每一位都是 $8$ ，如果存在这样的 $x$ ，请输出它的位数，否则输出 $0$ 。
思路：由 $8$ 组成的数可以表示成 $8*(10^x-1)/9$ ，因为 $L$ 可以整除它，所以有： $8*(10^x-1)/9=k*L$ ，即 $8*(10^x-1)=k*9*L$ ，两边同时消去 $g c d (9 * L, 8)$ ，可得 $p*(10^x-1)=k*q$ ，其中 $p = 8 / g c d (9 * L, 8)$ ， $q = 9 * L / g c d (9 * L, 8)$ ，那么 $p 、 q$ 一定是互质的，所以有 $10^x-1)=0\ mod\ q$ ，也即 $10^x=1\ mod\ q$ 。推到此处，不难发现需要用到欧拉定理，如果 $g c d (10, q) = 1$ ，那么答案一定存在于 $φ (q)$ 的所有因子中，枚举判断取最小值即可；否则说明无解。此题还有一个坑点就是快速幂直接用乘法会爆 $long\ long$ ，需要注意一下。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

ll fmul(ll a,ll b,ll p)
{
    return (a*b-(ll)((long double)a*b/p)*p+p)%p;
}

ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1;
    a%=p;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=fmul(ans,a,p);
        a=fmul(a,a,p);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

ll euler(ll n)
{
    ll ans=n;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
            n/=i,ans-=ans/i;
        while(n%i==0)
            n/=i;
    }
    if(n>1)
        ans-=ans/n;
    return ans;
}

int main()
{
    ll x;
    int times=0;
    while(~scanf("%lld",&x)&&x)
    {
        printf("Case %d: ",++times);
        x=9*x/gcd(8,x);
        if(gcd(10,x)==1)
        {
            ll oula=euler(x),a,b;
            ll ans=oula;
            for(ll i=1;i*i<=oula;i++)
            {
                if(oula%i==0)
                {
                    a=i,b=oula/i;
                    if(qpow(10,a,x)==1)
                        ans=min(ans,a);
                    if(a!=b&&qpow(10,b,x)==1)
                        ans=min(ans,b);
                }
            }
            printf("%lld\n",ans);
        }
        else
            printf("0\n");
    }
    return 0;
}