POJ 3696

题目连接：The Luckiest number

 

题意：求出由全8组成的数的最短长度，使得给定的L能整除它。

分析：先分析公式，可以发现一个全由A组成的数的表示形式为：，所以全8组成的数为：。

 

L能整除它，则有：，亦即：，则应该先约去8与9L的最大公约数。

因为8与9互素，所以实际上就是约去8与L的最大公约数。

所以进一步有：。

设gcd(a,m)=1，必有正整数x，使得a^x=1(mod m),且设满足等式的最小正整数为x0，必满足x0|phi（m）.注意m>1.

否则如果gcd(a,m)!=1，则方程a^x=1(mod m)没有解。

个人补充：

∵ 8*(10^x - 1 ) / 9 能整除 L

假设 8*(10^x - 1 ) / （9*L） == p （ p 为整数）

∴ 8*(10^x - 1 ) == 9*p*L   ==》 8*(10^x - 1 ) ＝0 mod（9*L)

∵ 8*(10^x - 1 ) == 9*p*L    两边同时约去 gcd(8,L)   得到 p1*(10^x - 1) == 9*p*L/gcd(8,L)

∴ 10^x - 1 == 9*k*L / gcd(8,L)   其中，k = p / p1

于是有 

 

还有另一种思路：

 

 

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL dp[1000005];
LL gcd(LL a,LL b){
	return b? gcd(b,a%b):a;
}
LL phi(LL n){ // 欧拉函数 
	LL rea = n;
	for(LL i=2;i*i <= n;i++){
		if(n % i == 0){
			rea = rea - rea / i ;
			while(n % i == 0) n /= i;
		}
	}
	if(n > 1) rea = rea - rea / n;
	return rea;
}
LL Mul(LL a,LL b,LL m){
	LL ans = 0;
	while(b){
		if(b & 1){
			ans = (ans+a) % m;
			b--;
		}
		b >>= 1;
		a = (a+a) % m;
	}
	return ans;
}
LL quick_mod(LL a,LL b,LL m){
	LL ans = 1;
	a %= m;
	while(b){
		if(b & 1) {
			ans = Mul(ans,a,m);
			b--;
		}
		b >>= 1;
		a = Mul(a,a,m);
	}
	return ans;
}
int main(){
	int k=1;
	LL l,m;
	while(scanf("%lld",&l) != EOF){
		if(l == 0) break;
		printf("Case %d: ",k++);
		m = 9*l/gcd(8,l);
		if(gcd(10,m) != 1){ // 无解情况 
			puts("0");
			continue;
		}
		LL ans = phi(m);
		LL size = 0;
		for(LL i=1;i*i<=ans;i++){ //记录 phi(m) 的因子。 
			if(ans % i == 0){
				dp[size++] = i;
				if(ans != i*i) dp[size++] = ans / i;
			}
		}
		sort(dp,dp+size);
		LL i;
		for(i=0;i<size;i++){
			if(quick_mod(10,dp[i],m) == 1){
				break;
			} 
		}
		printf("%lld\n",dp[i]);
	}
	return 0;
}

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