PICK定理及其证明（转）

给定顶点座标均是整点（或正方形 格点 ）的简单多边形 ，皮克定理 说明了其面积 A 和内部格点数目i 、边上格点数目b 的关系：A = i + b /2 - 1。

 

证明

因为所有简单多边形都可切割为一个三角形 和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形P ，及跟P 有一条共同边的三角形T 。若P 符合皮克公式，则只要证明P 加上T 的PT 亦符合皮克公式（I），与及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法 ，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

多边形

设P 和T 的共同边上有c 个格点。

• P 的面积： i_P + b_P /2 - 1
• T 的面积： i_T + b_T /2 - 1
• PT 的面积：

(i_T + i_P + c - 2) + (b_T - c + 2 + b_P - c + 2 ) /2 - 1

= i_PT + b_PT /2 - 1

三角形

证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：

1. 所有平行于轴线的矩形；
2. 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；
3. 所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。

矩形

设矩形R 长边短边各有m ,n 个格点：

• A_R = (m -1)(n -1)
• i_R = (m -2)(n -2)
• b_R = 2(m+n)-4

i_R + b_R /2 - 1

= (m -2)(n -2) + (m+n) - 2 - 1

= mn - (m + n ) +1

= (m -1)(n -1)

直角三角形

易见两条邻边和对角线 组成的两个直角三角形全等，且i ,b 相等。设其斜边上有c 个格点。

• b = m +n +c -3
• i = ((m -2)(n -2) - c + 2)/2

i + b /2 - 1

= ((m -2)(n -2) - c + 2)/2 + (m +n +c -3)/2 - 1

= (m -2)(n -2)/2 + (m +n - 3)/2

= (m -1)(n -1)/2

一般三角形

推广

• 取格点的组成图形的面积为一单位。在平行四边形 格点，皮克定理依然成立。套用于任意三角形格点，皮克定理则是A = 2i + b - 2。
• 对于非简单的多边形P ，皮克定理A = i + b /2 - χ(P)，其中χ(P )表示P 的欧拉特征数 。
• 高维推广：Ehrhart多项式 ；一维：植树问题。
• 皮克定理和欧拉公式（V-E+F=2）等价。